bzoj3930 [CQOI2015]选数

Description

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我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

Solution

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可能是我之前做过太多暴力推的柿子了，反而忘了反演的本质是啥

设 f(n) f ( n ) 表示 gcd=n g c d = n 的方案数， g(n) g ( n ) 表示 gcd|n g c d | n 的方案数，显然有

g(n)=∑n|df(d) g ( n ) = ∑ n | d f ( d )

反演可得

f(n)=∑n|dg(d)μ(dn) f ( n ) = ∑ n | d g ( d ) μ ( d n )

容易发现g(d)的求法非常简单，即

g(d)=(⌊Hd⌋−⌊L−1d⌋)n g ( d ) = ( ⌊ H d ⌋ − ⌊ L − 1 d ⌋ ) n

那么有

f(k)=∑k|dg(d)μ(dk)=∑d=1⌊Hk⌋μ(d)(⌊Hkd⌋−⌊L−1kd⌋)n f ( k ) = ∑ k | d g ( d ) μ ( d k ) = ∑ d = 1 ⌊ H k ⌋ μ ( d ) ( ⌊ H k d ⌋ − ⌊ L − 1 k d ⌋ ) n

看到下取整就可以分块，μ可以杜教筛，注意到 ⌊⌊nk⌋d⌋ ⌊ ⌊ n k ⌋ d ⌋ 实际上是和 ⌊nkd⌋ ⌊ n k d ⌋ 等价的，因此分块的时候怎么求右端点十分随意

Code

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#include 
#include 
#include 
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=5000000;

std:: map  map;

int prime[N/5];
short mu[N+5];
bool not_prime[N+5];

LL ksm(LL x,LL dep) {
    LL ret=1;
    while (dep) {
        if (dep&1) ret=ret*x%MOD;
        dep/=2; x=x*x%MOD;
    }
    return ret;
}

void pre_work() {
    mu[1]=1;
    rep(i,2,N) {
        if (!not_prime[i]) {
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;j++) {
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    rep(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
}

LL get_mu(LL x) {
    if (x<=N) return mu[x];
    if (map[x]) return map[x];
    LL ret=1;
    for (int i=2,j;i<=x;i=j+1) {
        j=x/(x/i);
        ret=(ret+MOD-(LL)(j-i+1)*get_mu(x/i)%MOD)%MOD;
    }
    return map[x]=ret;
}

void solve(int n,int k,int l,int h) {
    LL ans=0;
    for (int i=1,j;i<=h;i=j+1) {
        j=std:: min((l/i)?(l/(l/i)):MOD,h/(h/i));
        ans=(ans+(get_mu(j)-get_mu(i-1))*ksm(h/i-l/i,n)%MOD)%MOD;
    }
    printf("%lld\n", (ans+MOD)%MOD);
}

int main(void) {
    pre_work();
    int n,k,l,h; scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&h);
    h/=k; (l-=1)/=k;
    solve(n,k,l,h);
    return 0;
}