（NFA的确定化）NFA转换为等价的DFA(含视频教程)

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DFA和NFA组成定义

• DFA构成：五元组(K,∑,f,S,Z)

  • K:所有状态的集合
  • ∑:所有可接受的输入符号的集合
  • f:转换函数，是K × ∑ → K 上的映射。就是一个状态读入某个输入符号之后所到达的下一个状态的规则
  • S:K中的初始状态（只有一个）
  • Z:K中的终态集合（多个）

• NFA构成：五元组

  • K:所有状态的集合
  • ∑:所有可接受的输入符号的集合
  • f:转换函数，是K × ∑* → 2^k 上的映射（2^k表示k的幂级）。就是一个状态读入某个输入符号之后，可能达到多个状态
  • S:K中的初始状态集合（多个）
  • Z:K中的终态集合（多个）

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状态转换图及状态转换矩阵

• 例子

DFA M = ({S,U,V,Q},{a,b},f,S,{Q})，其中f定义为
f(S,a) = U,    f(U,a) = Q,   f(V,a) = U,    f(Q,a) = Q,
f(S,b) = V,    f(U,b) = V,   f(V,b) = Q,    f(Q,b) = Q    

• 状态图
  
  • 初态：以箭头指向表示
  • 终态：以双圆圈表示
  • 状态转换：以有向弧表示

• 状态转换表（矩阵表示）
  
  • (横,纵) → 值：(当前状态,输入符号) → 下一状态
  • 右侧0/1：0表示非终态，1表示终态

状态\符号	a	b
S	U	V
U	Q	V
V	U	Q
Q	Q	Q

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closure和move

• ε-closure(I)：其中I是一个集合。表示I中每个状态经过任意条ε弧后，所能达到的状态的集合。

• move(I,a)：其中I是一个集合，a是一条弧。表示I中每个状态经过一条a弧后，所能达到的状态的集合。

• 例子
  

• A = ε-closure(0) = {0,1,2,4,7}
• move(A,a) = {3,8}

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等价转换规则

• 这里介绍 子集法，假设NFA N = (K,∑,f,K0,Kt)，构造一个等价DFA M = (S,∑,D,S0,St)

• 步骤
  1） 计算ε-closure(K0)，取名T0
  2）标记T0以处理，分别计算ε-closure(move(T0,∑的单个输入)，取名Tx……Ty
  3）标记已处理，对新的Tx-Ty重复第二步，直到不再产生新的Ti集合为止
  4）按照1、2、3步的关系，确定所有的T集合之间的转换关系
  5）S0=[T0]，St=含有NFA中的终态的那个T集合
  6）画出状态图

• 例子

- 计算ε-closure(K0)，取名T0，K0只有一个0状态

T0 = ε-closure(0) = {0,1,2,4,7}

• 分别计算ε-closure(move(T0,∑的单个输入)，取名Tx……Ty

----------------------------------------------T0------------------------------------------------
Ti = ε-closure(move(T0,a))
move(T0,a) = {3,8}
T1 = {1,2,3,4,6,7,8}

Ti = ε-closure(move(T0,b))
move(T0,b) = {5}
T2 = {1,2,4,5,6,7}

• 对新的Tx-Ty重复第二步，直到不再产生新的Ti集合为止(T1、T2)

----------------------------------------------T1------------------------------------------------
T1 = {1,2,3,4,6,7,8}

Ti = ε-closure(move(T1,a))
move(T1,a) = {3,8}
Ti = T1

Ti = ε-closure(move(T1,b))
move(T1,b) = {5,9}
T3 = {1,2,4,5,6,7,9}
----------------------------------------------T2------------------------------------------------
 T2 = {1,2,4,5,6,7}

Ti = ε-closure(move(T2,a))
move(T2,a) = {3,8}
Ti = T1

Ti = ε-closure(move(T2,b))
move(T2,b) = {5}
Ti = T2
----------------------------------------------T3------------------------------------------------
T3 = {1,2,4,5,6,7,9}

Ti = ε-closure(move(T3,a))
move(T3,a) = {3,8}
Ti = T1

Ti = ε-closure(move(T3,b))
move(T3,b) = {5,10}
T4 = {1,2,4,5,6,7,10}
----------------------------------------------T4------------------------------------------------
T4 = {1,2,4,5,6,7,10}

Ti = ε-closure(move(T4,a))
move(T4,a) = {3,8}
Ti = T1

Ti = ε-closure(move(T4,b))
move(T4,b) = {5}
Ti = T2

• 至此，所有状态求解已经完成
  
  • S = {T0,T1,T2,T3,T4}
  • S0 = T0
  • St = T4(T4中含有10)
  • ∑ = {a,b} （和NFA是一样的）
  • D

D(T0,a) = T1
D(T0,b) = T2
D(T1,a) = T1
D(T1,b) = T3
D(T2,a) = T1
D(T2,b) = T2
D(T3,a) = T1
D(T3,b) = T4
D(T4,a) = T1
D(T4,b) = T2

• 将T0,T1,T2,T3,T4分别对应到0,1,2,3,4，得到状态转换图如下所示
  

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