哈夫曼算法

哈夫曼树的介绍

　　Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。

　　定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。

　　

　　（1） 路径和路径长度

　　定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

　　例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

　　（2） 结点的权及带权路径长度

　　定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

　　例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

　　（3） 树的带权路径长度

　　定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。

　　例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

　　比较下面两棵树

　　

　　上面的两棵树都是以{10， 20， 50， 100}为叶子节点的树。

　　左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360

　　右边的树WPL=290

　　左边的树WPL 》 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10，20，50，100}对应的哈夫曼树。至此，应该对哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

　　哈夫曼树的图文解析

　　假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：

　　1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林（每棵树仅有一个结点）；

　　2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

　　3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；

　　4. 重复（02）、（03）步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

　　以{5，6，7，8，15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

　　

　　第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5，6，7，8，15。

　　第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（5和6）来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子（谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子），并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将“树5”和“树6”从森林中删除，并将新的树（树11）添加到森林中。

　　第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（7和8）来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将“树7”和“树8”从森林中删除，并将新的树（树15）添加到森林中。

　　第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（11和15）来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将“树11”和“树15”从森林中删除，并将新的树（树26）添加到森林中。

　　第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树（15和26）来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将“树15”和“树26”从森林中删除，并将新的树（树41）添加到森林中。

　　此时，森林中只有一棵树（树41）。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

　　哈夫曼树是一种树形结构，用哈夫曼树的方法解编程题的算法就叫做哈夫曼算法。树并不是指植物，而是一种数据结构，因为其存放方式颇有点象一棵树有树叉因而称为树。 最简哈夫曼树是由德国数学家冯。哈夫曼 发现的，此树的特点就是引出的路程最短。

　　哈夫曼算法

　　哈夫曼树是一种树形结构，用哈夫曼树的方法解编程题的算法就叫做哈夫曼算法。树并不是指植物，而是一种数据结构。

　　定义：它是由n个带权叶子结点构成的所有二叉树中带权路径长度最短的二叉树。因为这种树最早由哈夫曼（Huffman）研究，所以称为哈夫曼树，又叫最优二叉树。

　　哈夫曼算法原理

　　1952年， David A. Huffman提出了一个不同的算法，这个算法可以为任何的可能性提供出一个理想的树。香农-范诺编码（Shanno-Fano）是从树的根节点到叶子节点所进行的的编码，哈夫曼编码算法却是从相反的方向，暨从叶子节点到根节点的方向编码的。

　　1.为每个符号建立一个叶子节点，并加上其相应的发生频率

　　2.当有一个以上的节点存在时，进行下列循环：

　　1）把这些节点作为带权值的二叉树的根节点，左右子树为空

　　2）选择两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且至新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。

　　3）把权值最小的两个根节点移除

　　4）将新的二叉树加入队列中。

　　5）最后剩下的节点暨为根节点，此时二叉树已经完成。

　　哈夫曼树的应用

　　哈夫曼编码：

　　哈夫曼树可以直接应用于通信及数据传送中的二进制编码。设： D=｛d1，d2，d3…dn｝为需要编码的字符集合。

　　W=｛w1，w2，w3，…wn｝为D中各字符出现的频率。 现要对D中的字符进行二进制编码，使得：

　　（1） 按给出的编码传输文件时，通信编码的总长最短。

　　（2） 若di不等于dj，则di的编码不可能是dj的编码的开始部分（前缀）。

　　满足上述要求的二进制编码称为最优前缀编码。 上述要求的第一条是为了提高传输的速度，第二条是为了保证传输的信息在译码时无二性，所以在字符的编码中间不需要添加任意的分割符。

　　对于这个问题，可以利用哈夫曼树加以解决：用d1，d2，d3…dn作为外部结点，用w1，w2，w3…wn作为外部结点的权，构造哈夫曼树。在哈夫曼树中把从每个结点引向其左子结点的边标上二进制数“0”，把从每个结点引向右子节点的边标上二进制数“1”，从根到每个叶结点的路径上的二进制数连接起来，就是这个叶结点所代表字符的最优前缀编码。通常把这种编码称为哈夫曼编码。例如：

　　D=｛d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，d8，d9，d10，d11，d12，d13｝ W=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41｝ 利用哈夫曼算法构造出如下图所示的哈夫曼树：

　　从而得到各字符的编码为：

　　d1:1011110 d2:1011111

　　d3:101110 d4:10110

　　d5:0100 d6:0101

　　d7:1010 d8:000

　　d9:001 d10:011

　　d11:100 d12:110

　　d13:111

　　编码的结果是，出现频率大的字符其编码较短，出现频率较小的字符其编码较长。