数据结构 - 第六章 - 图

一、图的基本概念

1.1 图的定义

由顶点集V和边集E组成，记为 G = （V , E）
若V={v1，v2，v3…},则用 | V | 表示图G中顶点的个数，也称图G的阶
E = { ( u , v ) | u$\in$V,v$\in$V} ,用 | E | 表示图G中的边的条数
注意： V一定是非空集 ( 线性表可以是空表、树可以是空树、图不可以为空 )

- 无向图
若E是无向边的有限集合时，图G为五向边，边是顶点的无序对，记为 （v，w）或（w，v）
（v，w）=（w，v）


- 有向图
若E是有向边（也称弧）的有限集合时，图G为有向图，边是顶点的有序对，记为 ,v称为弧尾，w称为弧头
表示从顶点v到顶点w的弧
！=

- 简单图 和 多重图

1.2 顶点的度、入度、出度

- 无向图
顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为 TD（v）
无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍：总度数 = 2e

- 有向图
入度：以顶点v为终点的有向边的数目
出度：以顶点v为起点的有向边的数目
顶点v的度等于入度 和 出度之和
在具有n个顶点、e条边的有向图中，总入度数 = 总出度数 = e

1.3 顶点 - 顶点的关系描述

• 路径：顶点Vp到顶点Vq之间的一条路径是指顶点序列：Vp，V1，V2…Vq

• 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环

• 简单路径：在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径

• 简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路

• 路径长度：路径上边的数目、

• 点到点的距离：从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径长度称为u到v的距离，若不存在，则记为$\infty$

• 无向图中，从顶点v到顶点w有路径存在，则称为v和w是连通的

• 有向图中，从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

• 无向图中，若任意两个顶点都是连通的，则称为连通图 否则非连通图
  考点： 对于n个顶点的无向图G，若G是连通图 则最少有n-1条边 若G是非连通图 最多可能有 C²_n-1 条边

• 有向图中，若任意一对顶点都是强连通的，则称为强连通图
  考点：对于n个顶点的有向图G，若G是强连通图 则最少有n条边

1.4 子图 、连通分量

1. 子图：

2. 连通分量

• 强连通分量
  

• 生成树
  

• 生成森林
  

• 边的权、带权图/网
  

1.5 特殊形态的图

• 无向完全图
  无向完全图共有C²_n条边
  
• 有向完全图
  无向完全图共有2C²_n条边
  
• 稀疏图 和 稠密图
  
• 树、有向树
  

1.6 总结

二、图的存储

2.1 邻接矩阵法

数组实现的顺序存储，空间复杂度高 不适合存储稀疏图
0表示两个点之间不连通
1表示两个点之间连通

2.1.1 如何根据邻接矩阵求度

• 无向图
  第i个结点的度 = 第i行（或者第i列）的非零元素个数
  时间复杂度：O（n）
  
• 有向图
  第 i 个结点的出度 = 第 i 行的非零元素的个数
  第 i 个结点的入度 = 第 i 列 的非零元素个数
  第 i 个结点的度 = 第 i 行、第 i 列 的非零元素个数之和
  时间复杂度：O（n）
  

2.1.2 邻接矩阵存储带权图（网）

2.1.3 邻接矩阵法的性能分析

空间复杂度 ： O（|v|²) —只和顶点数相关 和 实际边数无关
适用于i存储稠密图
无向图的邻接矩阵式对称矩阵，可以压缩存储

2.1.4 邻接矩阵法的性质

• 设图G的邻接矩阵为A（矩阵元素为0/1），则Aⁿ[ i ] [ j ] 等于由顶点 i 到 顶点 j 的长度为 n 的路径的数目
  

2.2 邻接表法 （顺序 + 链式存储）

2.2.1 求顶点的度

• 无向图 ： 直接遍历每个点指向的单链表
• 有向图：找出度同无向图 但是入度不方便找

2.2.2 邻接表 邻接矩阵对比

2.3 十字链表法存储有向图

2.4 邻接多重表存储无向图

2.5 总结

三、图的基本操作

• Adjacent ( G , x , y ) : 判断图G是否存在边或者（x，y）
  
• Neighbors（G，x） ： 列出图G中与结点x邻接的边
  
  
• INsertVertex（G，x）： 在图G中插入顶点x
  
• DeleteVertex（G，x）： 从图G中删除顶点x
  
  
• AddEdge（G，x，y）：若无向边（x，y）或者有向边不存在，则向图G中添加该边
  
• FirstNeighbor（G，x）： 求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号，若x没有邻接点或者图中不存在x，则返回-1
  
  
• NextNeighbor（G，x，y）： 假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，则返回-1

• Get_edge_value（G，x，y）：获取图G中边（x，y）或者对应的权值
• Set_edge_value（G，x，y）：设置图G中边（x，y）或者对应的权值v
  
  

四、图的遍历算法

4.1 广度优先遍历 BFS

4.1.1 代码实现

注意：
同一个图的邻接矩阵表示方式唯一，因此广度优先遍历唯一
同一个图的邻接表表示方式不唯一，因此广度优先遍历不唯一

4.1.2 存在问题 & 最终版

问题：若是非连通图 ，则无法遍历完所有节点
对于无向图，调用BFS函数的次数 = 连=连通分量的个数

4.1.3 复杂度分析

4.1.4 广度优先生成树

4.1.5 广度优先生成森林

4.1.6 总结

4.2 深度优先遍历 DFS

4.2.1 代码

类似于树的先根遍历

4.2.2 存在问题 & 最终版

若是非连通图 则无法遍历完所有节点

4.2.3 复杂度分析

- 空间复杂度：

- 时间复杂度：

4.2.4 示例

4.2.5 深度优先生成树

4.2.6 图的遍历与图的连通性

4.2.7 总结

五、最小生成树

5.1 定义

对于一个带权连通无向图 G = ( V , E ) ,生成树不同，每棵树的权（即树中所有边的权值之和）可能不同
权值之和最小的一颗生成树称为最小生成树
同一个图可能有多个最小生成树
注意：

• 若一个连通图本身就是一棵树，则最小生成树就是本身
• 只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

5.2 Prim 算法

5.2.1 算法思想

从某一个顶点开始构建生成树，每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点全部纳入为止

5.2.2 实现思想

**

5.2.3 复杂度

5.3 Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）

5.3.1 算法思想

每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本连通的不用选）
直到所有节点都连通

5.3.2 实现思想

5.3.3 复杂度

5.4 Prim 算法 & Kruskal算法 对比

六、最短路径问题

• 单源最短路问题： 一个点到其他点最短路径
• 多源最短路问题：任意两个点的最短路径

6.1 BFS求无权图的单源最短路径

BFS局限性：

• 只适用于不带权值的图
• 或者是所有边的权值都相同的图

6.2 DIjkstra 算法 —O（n²）

6.2.1 基本思想

对图G（V,E）设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的顶点u，访问并加入S，然后以u为中介点，更新起点s与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离 直到S已经包含所有顶点

Dijkstra不适用与带负权值的带权图
只用于带正权

操作步骤：

1. 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离” [ 例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为 $\infty$ ]。
2. 从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
4. 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

6.2.2 实现过程

6.2.3 复杂度

6.3 Floyd算法 —O（n³）

用于求解各个顶点之间的最短路径
可以解决带有负权的图
但是不能有回路

6.3.1 核心代码

七、有向无环图（DAG）

定义：若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图

7.1 DAG描述表达式解题方法：

1. 把各个操作数不重复的排成一排
2. 标出各个运算符的生效顺序（先后顺序有点出入无所谓）
3. 按顺序加入运算符，注意分层
4. 从底向上逐层检查同层的运算符是否可以合体
   

7.2 拓扑排序

AOV网一定是有向无环图 —无回路

7.2.1 拓扑排序实现方法

1. 从AOV网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出
2. 从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边
3. 重复 1 和 2直到当前的AOV网为空 或者 当前网中不存在无前驱的顶点为止

拓扑排序满足的条件：

• 每个顶点出现且只出现一次
• 若顶点A在序列中排到顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径

每个AOV网都有一个或者多个拓扑排序序列
一个有向无环图一定至少存在一个入度为0的点

7.2.2 代码实现

时间复杂度：O（V+E）
若采用邻接矩阵：O（V²）

7.3 逆拓扑排序

7.3.1 逆拓扑排序 DFS实现

7.4 总结

八、关键路径

8.1 AOE 网

在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销，称之为用边表示活动的网络 AOE网

8.2 求关键路径的步骤

8.3 关键活动、关键路径的特性

• 若关键活动耗时增加，则整个工程的工期将增长
• 缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期
• 当缩短到一定程度时，关键活动可能会变成非关键活动
• 可能有多条关键路径，只提高一条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能缩短工期

8.4 总结