[BZOJ2876][NOI2012]骑行川藏（导数+数学相关）

题目：

我是超链接

题解：

题目就是让求

∑kisi(vi−v′i)2<=Eu ∑ k i s i ( v i − v i ′ ) 2 <= E u

的条件下满足

min∑sivi m i n ∑ s i v i

我们先理解一下这道题目：
首先我们可以给所有路段随意分配一个速度
接下来，我们需要在一些路段上 消耗更多能量来提速，以此来 缩短一定的时间。不同的路段，花费单位能量缩短的时间（简称“ 性价比”）是不同的，所以要模拟这个过程，一定是每时每刻都在 当前性价比最高的路段上花费能量，直到能量花完为止。（相对的，我们可以减少某一条路径的能量，增加某路径所需的时间，然后把能量用到别的地方去）

根据前面的式子我们可以发现：随着花费能量的增加，性价比会越来越低

这样的话，只要按照上面这种贪心策略，时时刻刻在性价比最高的路段花费能量，（并且使他的性价比降低），最后到达最优解的时候，各路的性价比会一样

这个性价比是什么呢？t-E函数的斜率——导数。那么最优解满足，各路段导数一样

那么我们二分这个导数，求出每段的速度，求出所有的能量，和总能量比较一下，就可以得出答案了

我们要求出每一段导数关于v的关系。（k=s*k）

E=k(v−v′)2 E = k ( v − v ′ ) 2

t=sv t = s v

求谁的导数啊？我们考虑变化1单位的速度，t会变化t’，E会变化E’（x’为x的导数），我们要找到t’/E’最大的那个增加速度，也就是要求： t′E′ t ′ E ′

t′=(sv)′=−sv2 t ′ = ( s v ) ′ = − s v 2

E′=(k(v−v′)2)′=2k(v−v′) E ′ = ( k ( v − v ′ ) 2 ) ′ = 2 k ( v − v ′ )

t′E′=−s2kv2(v−v′) t ′ E ′ = − s 2 k v 2 ( v − v ′ )

然后二分公共导数x，对于每段路解方程： −s2kv2(v−v′)=x − s 2 k v 2 ( v − v ′ ) = x （二分解方程）得到v，进而求出所需要的能量。

竟然卡我精度= =，开到1e-12，为了防止/0，我们需要在可能出现0的getv函数里返回二分值

代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const double eps=1e-12;
const int N=100005;
double s[N],k[N],v[N],E;int n;
double getv(double x,int i)
{
    double l=max(v[i],(double)0),r=(double)N;
    while (r-l>=eps)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if (2*k[i]*mid*mid*(mid-v[i])*x>-s[i]) l=mid;else r=mid;
    }
    return (l+r)/2;
}
double nl(double x)
{
    double sum=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        double vv=getv(x,i);
        sum+=k[i]*(vv-v[i])*(vv-v[i]);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&E);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]),k[i]*=s[i];
    double l=-N,r=0;
    while (r-l>=eps)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if (nl(mid)<=E) l=mid;else r=mid; 
    }
    double ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) ans+=s[i]/getv(l,i);
    printf("%.10lf",ans);
}