ABC 169D Div Game 题解 - 质因数分解+贪心

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题目大意

给出一个正整数 $n$，并对它进行若干次操作
对于每次操作，选择一个正整数 $x$，满足 $x=p^e$ 且 $x$ 跟其他操作中用过的 $x$ 不一样（每个 $x$ 只能用一次）。其中 $p$ 为质数，$e$ 为正整数
将 $n$ 变成 $\frac{n}{x}$
问最多可以进行多少次这样的操作

首先，我们对 $n$ 进行质因数分解，复杂度 $O(\sqrt{n})$
则 $n$ 就可以表示为 $p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times \cdots \times p_m^{e_m}$

对于所有 $(1\le i\le m)$，我们要把 $p_i^{e_i}$ 拆成 $a_1\times a_2\times \cdots \times a_k$，满足所有 $a$ 都是 $p_i$ 的正整数次幂，使得不相同的 $a_i$ 的个数最大

由于所有 $a_i$ 都是同底的，所以，上面的问题可以转化：
对于所有 $(1\le i\le m)$，将 $e_i$ 拆成若干个正整数之和，使得不同的数的个数最大，用贪心/背包实现即可

#include
#include
#include
using namespace std;
const long long Maxn=60,Maxm=1000000+10;
long long f[Maxn],n,m,ans;
bool vis[Maxm];
inline long long read()
{
	long long s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9')s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return s*w;
}
long long dp(long long cnt) // 这里写的是背包
{
	memset(f,0,sizeof(f)); // f[i] 表示 i 最多可以拆成出多少个不同的正整数
	for(long long i=1;i<=cnt;++i)
	for(long long j=cnt;j>=i;--j)
	f[j]=max(f[j],f[j-i]+1);
	return f[cnt];
}
bool check(long long x)
{
	if(x==1)return 0; // O(sqrt(n)) 判断质数
	for(long long i=2;i*i<=x;++i)
	if(x%i==0)return 0;
	return 1;
}
int main()
{
//	freopen("in.txt","r",stdin);
	n=read();
	for(long long i=2;i*i<=n;++i)
	{
		if(vis[i])continue;
		for(long long j=(i<<1);j*j<=n;j+=i)
		vis[j]=1;
	} // 筛素数
	vis[1]=1,dp(55),m=n;
	while(n!=1) // 一边质因数分解一边计算
	{
		for(long long i=2;i*i<=n;++i)
		{
			if(n%i || vis[i])continue;
			long long cnt=0;
			while(m%i==0 && m)++cnt,m/=i;
			long long tmp=f[cnt];
			ans+=tmp;
		}
		if(n==m)break;
		n=m;
	}
	if(check(n))++ans;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}