决策单调性优化DP

四边形不等式

如果一个 dp 数组满足四边形不等式 $f[a,c]+f[b,d]<=f[a,d]+f[b,c]$ ($a<b\le c<d$，交叉小于包含)，那么它满足决策单调性 $s[i,j]<=s[i+1,j]<=s[i+1,j+1]$。（证明见百度百科）。

如果 dp 方程满足 $f[i][j]=min\{f[i][k]+f[k+1][j]\}+cost(j,i)$，$w$ 满足四边形不等式，且满足 $w[a,d]>=w[b,c]$，$a\le b\le c\le d$。那么 $f$ 也满足决策单调性。

如果 $f[i]=\min \{f[j]+cost(j,i)\}$，$cost$ 满足四边形不等式（或者说代价为凸），也是有决策单调性的。

剩下的就是yy。

分治

当 dp 数组是从上一层转移过来的时候，可以用分治求解决策单调性问题。分治的一个好处是不需要快速计算任意 $cost$ 函数，只需要快速转移相邻的 $cost$ 即可。

做法是 $solve(l,r,x,y)$ 表示我们要转移 $l,r$ 中的 dp 值，决策点在 $x,y$ 范围里。每次我们暴力计算出 $mid$ 的最优决策点 $p$，递归计算 $solve(l,mid-1,x,p)$，$solve(mid+1,r,p,y)$。

关于复杂度：对于决策点的枚举，每一层只会遍历数组一遍。对于价值函数的计算，从这一层的 $[x,y]$ 到下一层的 $[x,p]$，变化是区间长度级别的。枚举决策点的时候价值函数的计算是 $O(1)$ 的。因此复杂度为 $O(n\log n)$。

例题

CF868F
给定一个序列，要把它分成k个子序列。每个子序列的费用是其中相同元素的对数。求所有子序列的费用之和的最小值。
$n\le 100000,k\le 20$

分治写法的模板题。

#include
#define ll long long
using namespace std;
int tong[100010],l=1,r,now,n,k,a[100010];
ll f[21][100010];
ll sum=0;
inline int read()
{
	char c=getchar();int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-') flag=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*flag;
}
void add(int x) {sum+=tong[a[x]]++;}
void del(int x) {sum-=--tong[a[x]];}
void check(int L,int R)
{
	while(rL) add(--l);
	while(r>R) del(r--);
	while(lr) return;
	int mid=l+r>>1;
	int p=min(mid,y),k;
	for(int i=p;i>=x;i--)
	{
		check(i+1,mid);
		if(f[now-1][i]+sum

单调栈

可以解决同层 dp 转移的问题，缺点是需要快速计算 $cost$。

每个决策点影响到的一定是一个区间，因此用单调栈维护当前每个点的最优决策点。单调栈里是若干个区间 $[l,r,p]$ 表示 $l,r$这个区间的最优决策点是 $p$。每次新加入一个决策点，我们它能否完全替代栈顶，是的话就弹栈，不是的话在这个区间里 erf，然后分裂成两个区间。

例题

诗人小G
给定一些字符串，划分成若组，每组的代价是字符串总长-给定常数的 $p$ 次方。求最小代价和。

单调栈写法的模板题。

#include
#define ld long double
#define ll long long
using namespace std;
const int N=100010;
struct poss{
    int l,r;
}pos[N];
ld f[N];
int n,L,p,pre[N],q[N],sum[N];
char s[N][33];
int read()
{
    int x=0;char c=getchar(),flag='+';
    while(!isdigit(c)) flag=c,c=getchar();
    while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return flag=='-'?-x:x;
}
ld qpow(int a,int b)
{
    ld ans=1,base=a;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*base;
        base=base*base;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ld calc(int i,int x)
{
    return f[i]+qpow(abs(sum[x]-sum[i]-1-L),p);
}
void print(int x)
{
    if(pre[x]) print(pre[x]);
    for(int i=pre[x]+1;i<=x;i++) 
    {
        printf("%s",s[i]+1);
        if(i!=x) putchar(' ');
    }
    putchar('\n');
}
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(),L=read(),p=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%s",s[i]+1);
            sum[i]=sum[i-1]+strlen(s[i]+1)+1;
        }
        int h=1,t=1;
        q[h]=0,pos[0].l=1,pos[0].r=n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(pos[q[h]].r>1;
                if(calc(i,mid)<=calc(q[t],mid)) ans=mid,r=mid-1;
                else l=mid+1;
            }
            if(ans<=n) 
            {
                pos[q[t]].r=ans-1;
                q[++t]=i;
                pos[i].l=ans;
                pos[i].r=n;
            }
        }
        if(f[n]>1e18) puts("Too hard to arrange");
        else printf("%lld\n",(long long)f[n]),print(n);
        puts("--------------------");
    }
    return 0;
}