[Luogu P3172] [BZOJ 3930] [CQOI2015]选数

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题目描述

我们知道，从区间$[L,H]$（$L$和$H$为整数）中选取$N$个整数，总共有$(H-L+1{)}^N$种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的$N$个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数$K$，你需要回答他最大公约数刚好为$K$的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以$1000000007$的余数即可。

输入输出格式

输入格式：

输入一行，包含$4$个空格分开的正整数，依次为$N$，$K$，$L$和$H$。

输出格式：

输出一个整数，为所求方案数。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 2 4

输出样例#1：

3

说明

样例解释

所有可能的选择方案：$(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)$

其中最大公约数等于$2$的只有$3$组：$(2,2),(2,4),(4,2)$

对于100%的数据，$1\le N,K\le 10^9$，$1\le L\le H\le 10^9$，$H-L\le 10^5$

解题分析

首先还是很套路地将$L$变成$\lceil \frac{L}{K}\rceil$， $H$变成$\lfloor \frac{H}{K}\rfloor$， 那么问题就变成了从$[L，H]$选出$N$个数， 使得其$gcd$为$1$。

这里有个很讨厌的问题： $L,H$可能很大， 但$H-L$比较小。 如果我们直接枚举包含约数$i$的方案数个数， 很可能需要枚举到$10^9$， 这显然是不可行的。 然后我们发现， 这些情况都只会取$N$次一个数， 因为如果在$[L,H]$中取多个数的话， 它们的$gcd$不会超过$10^5$， 而这种约数对我们的答案是没有贡献的。

因此， 我们先不考虑只有一种数的情况， 那么我们包含的约数$i$只需要枚举到$H-L$。 然后这样的方案数为$cn{t}_i^N-cn{t}_i$。 最后从大到小容斥一遍即可。

如果$L=1$， 那么实际上我们是可以全部取到$K$的， 最后方案数$+1$即可。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 100500
#define MOD 1000000007ll
int dp[MX];
IN int fpow(R int base, R int tim)
{
    int ret = 1;
    W (tim)
    {
        if (tim & 1) ret = 1ll * ret * base % MOD;
        base = 1ll * base * base % MOD, tim >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main(void)
{
    int n, l, h, k, halt, lef, rig;
    scanf("%d%d%d%d", &n, &k, &l, &h);
    l = std::ceil(1.0 * l / k), h = h / k;
    halt = h - l;
    if (l > h) return puts("0"), 0;
    for (R int i = 1; i <= halt; ++i)
    {
        lef = std::ceil(1.0 * l / i), rig = h / i;
        if (lef > rig) continue;
        dp[i] = (fpow((rig - lef + 1), n) - (rig - lef + 1) + MOD) % MOD;
    }
    for (R int i = halt; i; --i)
    {
        for (R int j = i << 1; j <= halt; j += i)
        dp[i] = (dp[i] - dp[j] + MOD) % MOD;
    }
    if (l == 1) dp[1] = (dp[1] + 1) % MOD;
    printf("%d", dp[1]);
}