线性方程组求解

《Convex Optimization》

数值解这么走下去，却不好好弄弄关于线性方程组的求解，总感觉很别扭，既然《凸优化》也很详细地介绍了这一块东西，我就先跳过别的把这一块整一整吧。

容易求解的线性方程组

先讨论$Ax=b$很容易求解的情况，即$A$为满秩的方阵，方程有唯一的解。

对角矩阵

$a_{ii}{x}_i=b_i\Rightarrow x_i=b_i/a_{ii}，a_{ii}̸=0$
其中$a_{ij}$为矩阵$A$的第$i$行，第$j$列元素，下同。

下三角矩阵

下三角矩阵，即$a_{ij}=0,j>i$
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$

所以方程的解即为：
$$\begin{gathered} x_1:=b_1/a_{11} \\ {x}_2:=(b2-a_{21}{x}_1/a_{22} \\ ⋮ \\ {x}_n:=(b_n-a_{n1}{x}_1-a_{n2}{x}_2-\cdots -a_{n,n-1}{x}_{n-1}/a_{nn} \end{gathered}$$

上三角矩阵

下三角矩阵采用的是前向代入算法，而上三角矩阵采用的是后向代入或者称为回代算法。情况，或者说推导是类似的，这里不多赘述。

正交矩阵

正交矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$的条件是$A^{T}A=I$，即$A^{-1}=A^T$，所以方程的解是$x=A^{T}b$。如果$A$具有特殊的结构，可以进一步简化运算。

排列矩阵

令$\pi =({\pi }_1,\dots ,{\pi }_n)$为$(1,2,\dots ,n)$的一种排列。相应的排列矩阵$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$定义为：
$$A_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& j={\pi }_i\\ 0& 其他情况\end{array}$$
于是可以得到：
$$Ax=(x_{{\pi }_1},\dots ,x_{{\pi }_n})$$
排列矩阵的逆矩阵就是$A^T$，由此可知排列矩阵是正交矩阵。

因式分解求解方法

求解$Ax=b$的基本途径是将$A$表示为一系列非奇异矩阵的乘积：
$$A=A_1{A}_2\cdots A_k$$
因此：
$$x=A^{-1}b=A_k^{-1}{A}_{k-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}b$$
我们可以从右往左一步一步地来求解。

求解多个右边项的方程组

假设我们需要求解方程组：
$$A{x}_1=b_1,A{x}_2=b_2,\cdots ,A{x}_m=b_m$$
求解这m个问题等价于：
$$X=A^{-1}B$$
其中：
$$X=[x_1,x_2,\cdots ,x_m]\in {\mathbb{R}}^{n\times m}B=[b_1,b_2,\cdots ,b_m]\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$$

$\mathrm{L}\mathrm{U},\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{y}$ 和 $\mathrm{L}\mathrm{D}{\mathrm{L}}^{\mathrm{T}}$因式分解

每一个非奇异分解$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$都可以因式分解为：
$$A=PLU$$
其中$P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是排列矩阵，$L\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是单位下三角矩阵，而$U\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是非奇异上三角矩阵。

Gauss消元法

我们定义$A_0=A,A_1,A_2,\dots ,A_{n-1}$表示第$r$步消元后的系数矩阵。相应的，我们设计一个第$r$步消元的初等矩阵$N_r$，这个矩阵的除了第$r$列外，与单位矩阵无异，第$r$列为：
$$[0,0,\dots ,1,-a_{r+1,r}^{r-1}/a_{r,r}^{r-1},-a_{r+2,r}^{r-1}/a_{r,r}^{r-1},\dots ,-a_{n,r}^{r-1}/a_{r,r}^{r-1}{]}^T$$
于是，$A_r=N_r{A}_{r-1}$的$a_{jr}=0,j>r$，显然，如果顺利的话（因为可能出现$a_{rr}^{r-1}=0$的情况），进行$n-1$步消元后，矩阵就化为上三角矩阵了。
$$N_{n-1}\cdots N_2{N}_1{A}_0=A_{n-1},N_{n-1}\cdots N_2{N}_1{b}_0=b_{n+1}$$
于是：
$$A_0=N_1^{-1}{N}_2^{-1}\cdots N_{n-1}^{-1}{A}_{n-1}=N{A}_{n-1}$$
其中$N$为单位下三角矩阵（下三角矩阵的逆为下三角矩阵，下三角矩阵的乘积为下三角矩阵）。值得一提的是，如果这种分解存在，那么它是唯一的。另外，在《代数特征值问题》一书中，给出了$L和U$各个元素的显示表达式。
接下来，我们再讨论一下如何应对$a_{rr}^{r-1}=0$的情况。我们有一个最初的假设，即$A$是满秩的，虽然这个条件并非必要的（如果没有这个条件，那么就需要在最后判断是否有解）。
$$A_r=\left[\begin{array}{ll}{A}_{r,r}& A_{r,n-r}\\ A_{n-r,r}& A_{n-r,n-r}\end{array}\right]$$
经过$r$步消元后（假设顺利进行了），那么$A_{n-r,r}$为$0$矩阵，$A_{r,r}$为上三角矩阵。现在，如果$A_{n-r,n-r}$的首元素$a_{r+1,r+1}$为0，而且$t=\arg \max \{|a_{i,r+1}||i>r+1\}$。注意$a_{t,t+1}̸=0$，否则就与我们的满秩条件相矛盾了。当然，如果撇去假设，真的出现了这种情况，我们只需让$N_{r+1}=I$即可，即跳过这一次。最后，我们这一次选择的变换是$N_{r+1}{I}_{r+1,t}$。其中$I_{t+1,t}$是指第$r+1$行与$t$行交换的初等矩阵。
为了便于说明，我们以$n=4$为例：
$$\begin{array}{ll}{A}_3& =N_3{I}_{3,3^{\prime }}{N}_2{I}_{2,2^{\prime }}{N}_1{I}_{1,1^{\prime }}\\ & =N_3{I}_{3,3^{\prime }}{N}_2(I_{3,3^{\prime }}{I}_{3,3^{\prime }})I_{2,2^{\prime }}{N}_1(I_{2,2^{\prime }}{I}_{3,3^{\prime }}{I}_{3,3^{\prime }}{I}_{2,2^{\prime }})I_{1,1^{\prime }}{A}_0\\ & =N_3(I_{3,3^{\prime }}{N}_2{I}_{3,3^{\prime }})(I_{3,3^{\prime }}{I}_{2,2^{\prime }}{N}_1{I}_{2,2^{\prime }}{I}_{3,3^{\prime }})(I_{3,3^{\prime }}{I}_{2,2^{\prime }}{I}_{1,1^{\prime }}{A}_0)\\ & =N_3{N}_2{N}_1{P}^T{A}_0\end{array}$$
于是
$$A_0=PN{A}_3$$
这也是最开始的$A=PLU$的由来。$N$是下三角矩阵的证明比较简单，这里便不给出证明了。另外值得说明的一点是，我们对于$t$的选择，这么选择的原因是出于数值的稳定性（保证$N_r$的元素的绝对值都小于$1$）

Cholesky 因式分解

如果$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$是对称正定矩阵，那么它可以因式分解为：
$$A=L{L}^T$$
其中$L$是下三角非奇异矩阵，对角元素均为正数。这种分解可以看成$LU$分解的一种特例，不多赘述。

稀疏矩阵的Cholesky因式分解

当$A$是对称正定稀疏矩阵时，通常可以因式分解为：
$$A=PL{L}^T{P}^T$$

举个例子便于理解：
$$A=\left[\begin{array}{ll}1& u^T\\ u& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ u& L\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1& u^T\\ 0& L^T\end{array}\right]$$
其中$D=L{L}^T$，如果$D$为正对角矩阵，那么$L$的对角线元素便直接可以获得了。

$LD{L}^T$ 因式分解

每个非奇异对称矩阵$A$都能因式分解为：
$$A=PLD{L}^T{P}^T$$
其中$P$是排列矩阵，$L$是对角均为正数的下三角矩阵，$D$是块对角矩阵，对角块为$1\times 1$和$2\times 2$的非奇异矩阵。
这地方就不做分析了，因为自己没怎么细看这部分过。

分块消元和Schur补

将$x\in {\mathbb{R}}^n$分成俩块：
$$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$$
其中$x_1\in {\mathbb{R}}^{n_1},x_2\in {\mathbb{R}}^{n_2}$。
那么线性方程组可以这样表示：
$$\left[\begin{array}{ll}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$$
其中$A_{11}\in {\mathbb{R}}^{n_1\times n_1},A_{22}\in {\mathbb{R}}^{n_2\times n_2}$且假设$A_{11}$可逆。
由第一个方程可以获得：
$$x_1=A_{11}^{-1}(b_1-A_{12}{x}_2)$$
代入第二个方程可以得到：
$$(A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12})x_2=b_2-A_{21}{A}_{11}^{-1}{b}_1$$
注意到，$S=A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$即$A_{11}$的Schur补。
由上面的启发，我们可以先计算$x_2$再计算$x_1$，虽然这种方法对于稠密的无结构矩阵而言没有什么优点，但如果要消去的变量对于的子矩阵容易因式分解，这种方法会很有效。

逆矩阵引理

分块消元法的想法是先消去部分变量，然后求解包含这些变量的Schur补的小方程组。同样的想法可以反向应用：如果讲某个矩阵视为Schur补，就可以引入新变量，然后形成并求解一个大方程组。很多情况下这样做没有好处，因为我们最终要求解一个更大的方程组。但是，如果所形成的大方程组具有可以利用的特殊结构，引入新变量就可能导致更加有效的求解方法。最经常利用的是可以从大方程组中消去另一部分变量的情况。
假设有下面的线性方程组：
$$(A+BC)x=b$$
其中$A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$非奇异，$B\in {\mathbb{R}}^{n\times p}$,$C\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$。我们引入新变量$y=Cx$，并将方程组重新写成
$$Ax+By=b,y=Cx$$
即：
$$\left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}b\\ 0\end{array}\right]$$
注意到$A+BC$是大矩阵中$-I$的Schur补。容易看出，当$A,B,C$相当稀疏，而$A+BC$稀疏性很差的时候，解大方程组或许比原来的更加有效。

代码

import numpy as np


class LinearEqu: # 要求矩阵A为满秩方阵

    def __init__(self, A, b):
        self.m, self.n = A.shape
        assert self.n == len(b), "the dimensions don't match"
        assert self.m == self.n, "full-rank and row-column equal matrix required"
        self.A = np.array(A, dtype=float)
        self.b = np.array(b, dtype=float)

    @property
    def rank(self):
        """返回矩阵的秩"""
        return np.linalg.matrix_rank(self.A)

    @property
    def extendrank(self):
        """返回[A, b]的秩"""
        b = self.b.reshape(-1, 1)
        return np.linalg.matrix_rank(np.hstack((self.A, b)))
    
    @property
    def diagonal(self):
        assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
        assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
        """
        下面这部分是对矩阵A对角性质的考察，但是想到，万一我只是希望利用一下
        对角元素呢，所以这部分引掉。
        index = np.fromfunction(lambda i, j: i!=j, (self.n ,self.n))
        remain = self.A[index] == 0.
        if not np.all(remain):
            raise TypeError("matrix A is not diagonal...")
        """
        diag_A = np.diag(1 / np.diag(self.A))
        return diag_A @ b
    
    @property
    def low_triangle(self):
        """对下三角矩阵求解"""
        assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
        assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
        index = np.fromfunction(lambda i,j: i < j, (self.n, self.n))
        remain = self.A[index] == 0.
        if not np.all(remain): #这部分我们直接给出了检查
            raise TypeError("matrix A is not low-triangle...")
        x = np.zeros(self.n, dtype=float)
        for i in range(self.n):
            if not i:
                x[i] = self.b[i] / self.A[i, i]
            else:
                residual = self.A[i, :i] @ x[:i]
                x[i] = (self.b[i] - residual) / self.A[i, i]
        return x
    
    @property
    def up_triangle(self):
        """对上三角形矩阵求解"""
        assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
        assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
        index = np.fromfunction(lambda i,j: i > j, (self.n, self.n))
        remain = self.A[index] == 0.
        if not np.all(remain): #这部分我们直接给出了检查
            raise TypeError("matrix A is not up-triangle...")
        x = np.zeros(self.n, dtype=float)
        for i in range(self.n):
            if not i:
                x[self.n-1] = self.b[-1] / self.A[-1, -1]
            else:
                k = self.n - 1 - i
                residual = self.A[k, k+1:] @ x[k+1:]
                x[k] = (self.b[k] - residual) / self.A[k, k]
        return x
    
    @property
    def orthogonal(self):
        """正交矩阵"""
        assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
        assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
        """
        我们的确可以给出检查，只需：
        if np.sum(np.abs(self.A @ self.A.T - np.diag(np.ones(self.n)))) > 1e-5:
            raise TypeError("A is not orthogonal matrix...")
        因为会存在浪费计算的问题，这里就引掉吧。 
        """
        return self.A.T @ self.b
        
	@property
    def gauss(self):
        """利用高斯消元法求解"""
        assert self.rank == self.extendrank, "No solution"
        assert self.rank == self.n, "A is not a full-rank matrix"
        def find_max(A, r):
            vector = A[r:, r]
            max_pos = np.argmax(np.abs(vector)) + r
            return max_pos
        A = np.array(self.A, dtype=float)
        b = np.array(self.b, dtype=float)
        for r in range(self.n - 1):
            max_pos = find_max(A, r)  #寻找最大的点
            vector = np.array(A[r]) #替换 这么做的原因是多维ndarray似乎不支持a,b=b,a
            A[r] = A[max_pos]
            A[max_pos] = vector
            b[r], b[max_pos] = b[max_pos], b[r]
            N_r = np.diag(np.ones(self.n, dtype=float))
            N_r[r:, r] = -np.array(A[r:, r]) / A[r, r]
            N_r[r, r]  = 1.
            A = N_r @ A #更新A
            b = N_r @ b #更新b
        temp = LinearEqu(A, b)
        return temp.up_triangle