算法笔记：递归算法时间复杂度计算 之 主方法（Master Method）及 证明思路

一、定义

主方法是一种公式化的递归式时间复杂度求解方法，掌握后可以对特定形式的递归式快速求解，其定义如下：

对于此形式的递归式：

其中a >= 1, b > 1, f(n)渐进趋正 （渐进趋正即对于足够大的n，f(n)大于零）

比较 f(n) 与   (推倒可知 即递归树的叶子节点数量)分三种情况：

（1）情况一：f(n) 渐进小于  

         即 存在>0，使得    成立时：

         

（2）情况二：f(n) 渐进等于 (存在一个k >=0使得式子满足即可)

          即 存在k>=0，使得    成立时：

          

（3）情况三：f(n) 渐进大于 且 渐进树上各层f(n)的和指数递减

          即 存在>0，>0，使得    且    成立时：

          

二、证明思路

（这里只给出证明思路以及部分粗略的证明过程）

（1）思路：运用递归树，将每层加起来，再层层相加，看看会发生什么（ T(n)由谁主导? ）

（2）证明：(这里只部分证明情况三，其他类似)

    首先画出递归树

可知递归树的层数：    -->  递归树的叶子数：  

计算各层的和：

  第一层：f(n)

  第二层：af(n/b)

  第三层：

.............

  最后一层（叶子层）：

在情况三中我们已经假定各层f(n)的和指数递减且f(n)渐进大于：故而可以确定此情况下T(n)=O(f(n))

(渐进下界的证明过程类似)