辛普森积分入门讲解

辛普森积分

引用部分

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定义

辛普森积分法就是在积分区间[a,b]上去找三个点a、b和m=(a+b)/2,计算其原函数的在此处的值,然后用抛物线来拟合原函数。

正文

• Simpson积分公式

用途:来求一个函数的积分的近似值，用于面积计算等精度要求不是特别苛刻的地方。

其实它就是用一个二次函数曲线不断拟合逼近原函数，然后求得原函数的近似值。

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• 公式说明:

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前置： g(x) g ( x ) 为一个关于 x x 的二次函数(抛物线)，其中 g(x)=A×x2+B×x+C g ( x ) = A × x 2 + B × x + C ，对于求定积分 ∫x0g(x)dx ∫ 0 x g ( x ) d x ，通过求积得其等于 A×x33+B×x22+C×x+D A × x 3 3 + B × x 2 2 + C × x + D 其中 D D 为常数，可以看做 0 0 。令 W(x)=∫x0g(x)dx W ( x ) = ∫ 0 x g ( x ) d x ，所以对于求一段定积分则有 ∫bag(x)=W(b)−W(a) ∫ a b g ( x ) = W ( b ) − W ( a ) 。

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在平面直角坐标系里，由 (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) (其中 x3=x1+x22 x 3 = x 1 + x 2 2 )确定的抛物线 f(x) f ( x ) 在区间[x1,x2]的定积分为:

∫x2x1f(x)dx=16×(x2−x1)×(y1+y2+4×y3) ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x = 1 6 × ( x 2 − x 1 ) × ( y 1 + y 2 + 4 × y 3 )

下面给出简单的证明:

令 g(x)=A×x2+B×x+C g ( x ) = A × x 2 + B × x + C 为拟合后的抛物线，则有

∫x2x1f(x)dx≈∫x2x1g(x)dx ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x ≈ ∫ x 1 x 2 g ( x ) d x

=W(x2)−W(x1) = W ( x 2 ) − W ( x 1 )

=A3×(x2)3+B2×(x2)2+C×x2−(A3×(x1)3+B2×(x1)2+C×x1) = A 3 × ( x 2 ) 3 + B 2 × ( x 2 ) 2 + C × x 2 − ( A 3 × ( x 1 ) 3 + B 2 × ( x 1 ) 2 + C × x 1 )

=A3×((x2)3−(x1)3)+B2×((x2)2−(x1)2)+C×(x2−x1) = A 3 × ( ( x 2 ) 3 − ( x 1 ) 3 ) + B 2 × ( ( x 2 ) 2 − ( x 1 ) 2 ) + C × ( x 2 − x 1 )

=x2−x16×(2×A×((x2)2+x1×x2+(x1)2)+3×B×(x2+x1)+6×C) = x 2 − x 1 6 × ( 2 × A × ( ( x 2 ) 2 + x 1 × x 2 + ( x 1 ) 2 ) + 3 × B × ( x 2 + x 1 ) + 6 × C )

展开化简整理得：

=x2−x16×(A×(x1)2+B×x1+C+A×(x2)2+B×x2+C+4×A×(x2+x12)2) = x 2 − x 1 6 × ( A × ( x 1 ) 2 + B × x 1 + C + A × ( x 2 ) 2 + B × x 2 + C + 4 × A × ( x 2 + x 1 2 ) 2 )

将其组合成完全平方式(配方)后

=x2−x16×(g(x1)+g(x2)+4×g(x1+x22)) = x 2 − x 1 6 × ( g ( x 1 ) + g ( x 2 ) + 4 × g ( x 1 + x 2 2 ) )

=x2−x16×(g(x1)+g(x2)+4×g(x3)) = x 2 − x 1 6 × ( g ( x 1 ) + g ( x 2 ) + 4 × g ( x 3 ) )

于是我们就得到了simpson积分公式

∫baf(x)dx≈b−a6×[g(a)+4×g(a+b2)+g(b)] ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 × [ g ( a ) + 4 × g ( a + b 2 ) + g ( b ) ]

在实际计算中 g(x) g ( x ) 的值可以用原函数 f(x) f ( x ) 的值来代替，于是就是如下公式:

∫baf(x)dx≈b−a6×[f(a)+4×f(a+b2)+f(b)] ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 × [ f ( a ) + 4 × f ( a + b 2 ) + f ( b ) ]

代码：

double simpson(double l,double r){
    return (r-l)*(f(l)+4*f((l+r)/2)+f(r))/6;
}

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自适应辛普森积分法

• 那么实际程序该如何实现辛普森积分求积呢?

我们如果要求 ∫baf(x)dx ∫ a b f ( x ) d x 的近似值的话，可以用递归二分区间求解来达到要求精度。
用如下公式:

∫baf(x)dx=∫midaf(x)dx+∫bmidf(x)dx ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a m i d f ( x ) d x + ∫ m i d b f ( x ) d x

其中 mid=a+b2 m i d = a + b 2 ，证明:显然式证明 :)

但是因为是浮点数(小数),那么递归多少层，在什么时候返回值结束递归呢?
我们容易知道如果递归到 b−a<eps b − a < e p s 的话精度虽然很高，但是时间复杂度太高了，但是如果递归少了，精度又得不到保证，那该如何是好呢?

• 自适应法

自适应法，就是让程序根据实际情况决定如何运行执行操作。自己随便下的定义而已

这里我们就要用自适应法来解决这个问题啦，让程序自己去决定递归层数，而且又保证精度。

说的很高深，其实很简单。还是比较难吧

• 自动化控制区间分割的大小。

实际操作:二分递归，当满足精度就计算返回值，结束递归。

伪代码:

function(l,r,eps,ans):
mid=(l+r)/2;
lval=左边的值,rval=右边的值;
if (满足精度) return 答案;
eps/=2;
else return 左边递归+右边递归;

注意，这里的 ans a n s 表示上一层计算的整个区间的答案，用来和当前这层来判断精度， eps e p s 在递归时每次除以2，这是为了消除精度误差叠加效应，当小误差多了就成大误差了，所以每次要缩小精度。

代码:

double asr(double l,double r,double eps,double ans){
    double mid=(l+r)/2;
    double lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
    if(fabs(lval+rval-ans)<=15*eps) return lval+rval+(lval+rval-ans)/15;
    return asr(l,mid,eps/2,lval)+asr(mid,r,eps/2,rval);
}
double asme(double a,double b,double eps){
    return asr(a,b,eps,simpson(a,b));
}

推荐文章

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• 模板1【模板】自适应辛普森法1

代码

#include
#include
#include
#include
#define db double
using namespace std;
const db eps=1e-7;
db a,b,c,d,L,R;
db f(db x){return (c*x+d)/(a*x+b);}
db simpson(db l,db r){return (f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))*(r-l)/6;}
db asr(db l,db r,db exps,db val){
    db mid=(l+r)/2;
    db lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
    if(fabs(lval+rval-val)<=15*exps){return lval+rval+(lval+rval-val)/15;}
    return asr(l,mid,exps/2,lval)+asr(mid,r,exps/2,rval);
}
db asme(db l,db r,db exps){return asr(l,r,exps,simpson(l,r));}
int main(){
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&L,&R);
    printf("%lf\n",asme(L,R,eps));
    return 0;
}

---

• 模板2【模板】自适应辛普森法2

代码

#include
#include
#include
#include
#define db double
using namespace std;
const db inf=30;
const db eps=1e-7,zero=1e-10;
db a;
db f(db x){return pow(x,a/x-x);}
db simpson(db l,db r){return (f(l)+f(r)+4*f((l+r)/2))*(r-l)/6;}
db asr(db l,db r,db exps,db val){
    db mid=(l+r)/2;
    db lval=simpson(l,mid),rval=simpson(mid,r);
    if(fabs(lval+rval-val)<=15*exps) return lval+rval+(lval+rval-val)/15;
    return asr(l,mid,exps/2,lval)+asr(mid,r,exps/2,rval);
}
db asme(db l,db r,db exps){return asr(l,r,exps,simpson(l,r));}
int main(){
    scanf("%lf",&a);
    if(a<0)puts("orz");
    else printf("%.5lf\n",asme(zero,inf,eps));
    return 0;
}

这个虽然求的是不定积分但是，不要被吓到了，因为当 x x 大于30左右后，函数值趋近于0，所以可以不计。
然后当 a<0 a < 0 时函数不收敛，所以无解。

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其他题目[NOI2005]月下柠檬树

• simpson的其他用途:

和扫描线结合求圆面积并和其他不规则图形面积等。

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