UOJ#205. 【APIO2016】Fireworks【动态规划+折线优化+可并堆】

题目大意：

给出一棵树，边有边权，可以花费1的代价把一条边的权值加1或者­1，不能减到负的。
要让根到所有叶子的边权和都相等。问最小代价。
n<=600000

解题思路：

设 fx(i) f x ( i ) 表示 x x 的子树中的叶子到 x x 距离全部搞成 i i 的最小代价。
设 gx(i) g x ( i ) 表示 x x 的子树中的叶子到 fax f a x 的距离全部搞成 i i 的最小代价。
那么有dp方程：

fx(i)=∑y∈sonxgy(i) f x ( i ) = ∑ y ∈ s o n x g y ( i )

gx(i)=minδ≥−axfx(i−ax−δ)+|δ| g x ( i ) = min δ ≥ − a x f x ( i − a x − δ ) + | δ |

直接dp是 O(n2) O ( n 2 ) 的，考虑优化。
注意 fx(i)，gx(i) f x ( i ) ， g x ( i ) 是关于的一条线性下凸折线，证明可以考虑从叶子是线性下凸折线开始往上推。

考虑 gx g x 是如何从 fx f x 转变的。
先是由 fx f x 整体右移 ax a x 。
δ δ 是没有上界的，相当于右边都能从左边更新，根据dp方程，直接把最右侧斜率 ≥2 ≥ 2 的部分都扔掉就行了。
δ δ 有个下界，相当于 i i 可以从 ≤i+ax ≤ i + a x 的范围内更新，画图观察可以发现就是把斜率 ≤−1 ≤ − 1 的部分往平移了向量 (−ax,ax) ( − a x , a x ) 。

fx f x 就是把所有儿子的折线合并。

如果我们维护的是折线拐点的横坐标，设 x x 有 cnt c n t 个儿子，斜率 ≥2 ≥ 2 的拐点就有 cnt−1 c n t − 1 个，删除后就只有斜率为0和1的拐点坐标增加了 ax a x 。

以上操作都可以用可并堆维护，时间复杂度为 O(nlogn) O ( n l o g n ) 。

最后如何计算答案？注意到 f1(0)=∑ai f 1 ( 0 ) = ∑ a i ，再把拐点从左到右计算一下就可得到折线最小值了。

#include
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=6e5+5;
ll sum,v[N];
int n,m,fa[N],w[N],son[N];
int tot,rt[N],l[N],r[N];
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(v[x]return x;
}
int pop(int x){return merge(l[x],r[x]);}
void dfs(int x)
{
    if(!x)return;
    sum-=v[x];
    dfs(l[x]),dfs(r[x]);
}
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    n=getint(),m=getint();
    for(int i=2;i<=n+m;i++)
    {
        fa[i]=getint(),w[i]=getint();
        sum+=w[i],son[fa[i]]++;
    }
    for(int i=n+m;i>1;i--)
    {
        ll L=0,R=0;
        if(son[i])
        {
            while(--son[i])rt[i]=pop(rt[i]);
            R=v[rt[i]],rt[i]=pop(rt[i]);
            L=v[rt[i]],rt[i]=pop(rt[i]);
        }
        v[++tot]=L+w[i],v[++tot]=R+w[i];
        rt[i]=merge(rt[i],merge(tot,tot-1));
        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);
    }
    while(son[1]--)rt[1]=pop(rt[1]);
    dfs(rt[1]);cout<'\n';
    return 0;
}