[ 决策单调性优化DP ] 计蒜客 是男人就过 8 题 H Sign Location

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显然标志放在车站上是最优的。
令 fi,j f i , j 表示放了前 i i 个标志，最后一个标志在 j j 位置的最小代价，转移推下式子就行了。
打个暴力发现满足决策单调性，分治做就好了。
讲下怎么推式子。
最终 k k 个标志把 n n 个车站分成了 k+1 k + 1 个区间，我们把 (i,j) ( i , j ) 的贡献算在 i i 所在的区间内，然后统计每个区间的贡献。
假设当前要放的位置是 r r ，上一个位置是 l l ，那么 i i 在 [l+1,r−1] [ l + 1 , r − 1 ] 内。

• l<j≤r l < j ≤ r ：
  

  2∑k=l+2r−1∑p=l+1k−1(xk−xp)=2∑k=l+2r−1xk(k−l−1)−2∑k=l+1r−2xk(r−k−1) 2 ∑ k = l + 2 r − 1 ∑ p = l + 1 k − 1 ( x k − x p ) = 2 ∑ k = l + 2 r − 1 x k ( k − l − 1 ) − 2 ∑ k = l + 1 r − 2 x k ( r − k − 1 )

• j≤l j ≤ l ：
  

  ∑k=l+1r−1(xk−xl)l=∑k=l+1r−1xkl−xl(r−l−1)l ∑ k = l + 1 r − 1 ( x k − x l ) l = ∑ k = l + 1 r − 1 x k l − x l ( r − l − 1 ) l

• j>r j > r ：
  
  ∑k=l+1r−1(xr−xk)(n−r+1)=xr(r−l−1)(n−r+1)−∑k=l+1r−1xk(n−r+1) ∑ k = l + 1 r − 1 ( x r − x k ) ( n − r + 1 ) = x r ( r − l − 1 ) ( n − r + 1 ) − ∑ k = l + 1 r − 1 x k ( n − r + 1 )

预处理出 xi x i 的前缀和、 ixi i x i 的前缀和就好了。最后一段要特殊考虑。

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10010;
int k,n,m,cur;
int a[N];
ll p[N],g[N];
ll f[210][N],Ans;
ll Get(int i,int j) {
    ll Ans=2*(g[j-1]-g[i+1]+g[j-2]-g[i]-(p[j-1]-p[i+1])*(i+1)-(p[j-2]-p[i])*(j-1));
    Ans+=1ll*i*(p[j-1]-p[i]-1ll*a[i]*(j-i-1));
    Ans+=1ll*(n-j+1)*(1ll*a[j]*(j-i-1)-p[j-1]+p[i]);
    return Ans;
}
ll Get1(int i,int j) {
    if(i==j) return 0;
    ll Ans=2*(g[j]-g[i+1]+g[j-1]-g[i]-(p[j]-p[i+1])*(i+1)-(p[j-1]-p[i])*j);
    Ans+=1ll*i*(p[j]-p[i]-1ll*a[i]*(j-i));
    return Ans;
}
void Solve(int l,int r,int L,int R) {
    if(l>r) return;
    int Mid=l+r>>1;
    ll mn=2e18;int pos=L;
    for(int i=min(R,Mid-1);i>=L;i--) {
        ll t=f[cur-1][i]+Get(i,Mid);
        if(tpos=i;
    }
    f[cur][Mid]=mn;
    Solve(l,Mid-1,L,pos);Solve(Mid+1,r,pos,R);
}
int main() {
    while(~scanf("%d%d",&n,&k)) {
        k=min(k,n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),p[i]=p[i-1]+a[i],g[i]=g[i-1]+1ll*a[i]*i;
        if(!k) {
            Ans=0;
            for(int i=2;i<=n;i++) Ans+=1ll*a[i]*i-p[i];
            printf("%lld\n",Ans<<1);
            continue;
        }
        for(int j=1;j<=k;j++) {
            cur=j;
            if(j==1) Solve(1,n,0,0);else
            Solve(j,n,j-1,n-1);
        }
        Ans=2e18;
        for(int i=k;i<=n;i++) Ans=min(Ans,f[k][i]+Get1(i,n));
        printf("%lld\n",Ans);
    }
    return 0;
}