从信号的维度再次理解香农公式，进而发问，人类到底生活在几维空间中？

         香农公式是香农老人家一辈子的巅峰之作。对香农公式的理解当然可以从不同的角度去理解。所谓万法归宗，不论从哪个角度去理解，到最后发现，其本质都是一样的，都揭示了信息传输极限能力。

         学过通信的都知道香农公式的表达式，log2（1+s/n)，单位是bit/s，就是说，告诉了我信号的信噪比，也就是信号和噪声的能量之比，如果功率均匀，也可以理解为信号功率和噪声强度的比。我们就可以估计此系统的最大传输速率。也就是说，每秒钟最大能够传输多少bit信息。 当然，90%的人只知道这些。为什么会是这样，为什么传输速率有一个上限，是什么东西在制约这个系统，这个制约可以打破吗。等等问题大多数人可能不知道。当然看香农的原始推到，就会被其复杂的公式难住。今天，我们从向量的角度，直白而又准确的解决上面的所有问题。在谈这个之前。先可以思考一下，宇宙到底是几维空间。

         在向量中，有维度的概念，向量就是一个空间，超过3为的向量空间，人类就很难理解了。不知是那个大神竟然体会到了第四维，时间这个维度。还有没有更高的维度，我认为有，只是以目前人类的感知能力，无法感知到。

         在纯数学的向量空间中，可以使多维的空间。可以用数学表达式来优雅的描述。言归正传，先谈谈信号的维度。任何一个时域的信号，我们定义他的维度为2WT。这样定义利用了Nyquist定律。任何一个带宽为W的信号，只要抽样频率大于等于2W，就可以完全的表示这个信号。当最小抽样速率选为2W时，对于时间为T的信号（这个T不一定是非无限大的。),可以用T/(1/2W)=2TW个离散的点，即原始信号的抽样来完备的表示这个信号。这样，一个信号从时域连续变成了离散的。这是一个等价变换。相当于从一个域变换到另一个域的变换。可以把这种变换叫做从连续域到离散域的一个变换。这种变换和FT变换，Z变换，Laplas变换类似。两个域之间是等效的 。好，通过域的转换，我们把连续域变换成为了离散域。这样就可以引入数学中的向量工具。

        这样一个信号的就是一个矢量。这个矢量所处的矢量空间的维度为2wt。所谓一个信号能带多少bit，就是说，在AWGN的影响下，可以有多少个可以相互分辨的信号。香农就是解决了这个问题。在没有AWGN的影响下，这个信号的功率为一个定值的时候，他的矢量就是一个超维的球的半径。他的顶点就是相同半径的圆球的球面。当然，球面上有无数个点，就是有无数个相互可以分辨的信号。也就是说信道容量为无穷。说到这，有人会发问，nyquist定理不是也有一个极限吗，他那个极限为2W，不是也是没有AWGN吗。nyquist的理论是基于一个一个symbol的。在symbol无码间干扰的情况下的最大速率，单位都不同，那是波特率。只是考虑了各个symbol情况。香农玩的更大，他不再看symbol了，只看一个时间段内的所以波形。当然这个波形里可能包好很多的symbol。所以nyquist和香农的侧重点不同。

        好，信号就是球面上的点。接着就要加入白噪声了。白噪声，服从高斯分布，均值为0，方差为sigma方。sigma方就是白噪声的强度，也就是白噪声的功率。这样i.i.d的AWGN就会加入2wt维度的各个维上。根据大数定律，白噪声的平方和（也就是噪声的能量）会趋于2wtsigma方，也就是说，被污染的点是原始点的一个小球面。这样只要各个小球之间不想交，就可以分辨出各个矢量了。这样的小球一共多少个，在取个log2，就是信道的容量。这个的小球的个数的计算方法可以参考广义球体容积的计算方法。通过计算，就可以计算出香农容量。妥妥的。因此，整个流程是一个数学的过程。

         因此，解决上面提到的问题，1，传输速率又上限是因为信号被污染之后，变成了另一个信号，接收到同一个信号无法辨别到底是那个发的。所以，每个信号都有一个自我的领地（也叫安全范围），这样就会导致速率会有一个上线，每一个信号都有一个最小的领地。2，制约这个系统的是这个超维的矢量空间，这是无法解除的。只能逼近这个容量，而无法超越这个容量。逼近的方法就是信道编码，发送接收算法等等，这里不再赘言。

       接着引入一个哲学话题，人类到底生活在几维的空间，一个信号，看上去只是一个时间维的2维信号，但是他却需要一个多维空间来表示。那么人类生活在4维空间（目前可以感知到的维度），应该可以用更高的维度来表示。人类也有上限，也有制约，只能逼近，无法超越。大自然的自然现象可能会给人类一些启示。所以，我们与大自然共同生活在一个超维宇宙之中，虽然我们只能感知到4维，其他的维度需要与大自然共振。