Shannon极限与Nyquist极限

二者关系

都说Nyquist定理适用的情况是无噪声信道，Shannon定理适用的情况是有噪声信道，那是不是前者比后者高呢？其实不是的。仔细看看就知道，Nyquist定理描述的是数字信道的无噪声信道，shannon定理描述的是模拟信道的有噪声信道，数字信道的量化噪声，不是Nyquist定理里噪声的一部分，却是Shannon定理里噪声的成分。所以实际上Shannon极限更大！

考虑量化噪声，Nyquist极限的上限是Shannon极限

以均匀量化为例，$\frac{S}{N_q}=3\times Q^2\times \frac{\overline{x^2(t)}}{x_p^2}$，
对归一化的M进制PAM信号符号序列的可能电平为$a_k=\{\pm \frac{1}{Q-1},\pm \frac{3}{Q-1}...,,\pm 1\}$，
各电平等概下，其平均功率$E\{a_k^2\}=\frac{M^2-1}{3(M-1{)}^2}$,$x_p^2=1$
回代得$\frac{S}{N_q}=Q^2\times \frac{M+1}{M-1}$。
Shannon极限$C_s=B_{T}lo{g}_2\{1+\frac{S}{N_q}\}=B_{T}lo{g}_2\{1+Q^2\times \frac{M+1}{M-1}\}$,
Nyquist极限$C_n=B_{T}lo{g}_2\{1+\frac{S}{N_q}\}=B_{T}lo{g}_2\{Q^2\}$,
显然有$C_n<C_s$，
量化位数$Q$趋于无穷大时，量化阶$\Delta$趋于0，$C_n=C_s$。