快速傅立叶（FFT）算法实现

  为了WinCE机器人设计，我要学习JPEG，还有视频压缩技术，在JPEG的时候，我就被前面的DCT给挡住了，现如今我终于写了一个FFT程序，发了我好长的时间。如果说是因为我的无知，还是什么，我对学习这类有关数学的东西，总是显得那么的迟钝，也许是因为人老了吧。其它我还像个小孩子一样，唉，这年头，还真是搞不懂自己了。
进入正题吧，我对FFT的完全不了解，到最后，实现FFT正变换与反变换，其中有太多的细节，如果我现在能说明的，一定全力说明，以让与我一样对FFT这东西有点害怕，但又不得不理解的人来说，也许会有些用处。
首先，FFT（快速傅立叶变换）的作用是要是用于将一个有限数字信号从时间域转换到频率域。什么是时间域呢？简单的可以这样理解，就是一个信号是与时间相关的，用平面坐标来说就是横坐标是以时间t，纵坐标是时间t上的一个函数值f(x),我们叫这个函数f(x)为时间域。当一个信号经过FFT变换之后，将变成频率域。什么是频率域呢？同样可以这样理解，它其实就是一个用频率与相位来标识的一个函数。像F(x) = Asin(ωx+φ),在数学中A表示幅值，而ω表示频率，φ表示相位。我们假设F(x)一个频率域函数，那么其频率谱就是|F(x)| = [R^2(x)+I^2(x)]^(1/2),其中R与I表示取实部与虚部函数。需要说明的一点，那就是FFT变换是一个复数变换，所以F(x)是一个复数函数。

我们知道了时间域与频率域的概念之后，下一步就是为什么我们要使用时间域到频率域的转换呢？现在我也只知道其中的一点，那就是在JPEG中可以将数据的高频部分找出来，也就是相关性，这样方便数据压缩。总之一点，你学习这个东西，那么你一定是知道这东西可以用到你想做的东西上面。其实FFT代码在很多网站上都有源码，而且到处都有下载，如果说你想自己研究一下，学习一个这个东西是个啥样，那么我想那还是有必要看一下理论知识的。其实给你一个公式，如果你能马上写出其代码，那已经是很不错的了。我在学FFT的时候看到那个DCT（离散余弦变换）的公式，然后是一个很不知道来源的代码，还真不知道如何下手。呵呵，经过努力还是将FFT完成了。

FFT中理论知识有很多，我想要学会如何变换，知道其中一种就可以了，至于其它优化算法，那就要慢慢研究。FFT中快速算法的理论我们需要知道的就是“蝶形运算”。

1、蝶形算法：

有关蝶形算法的介绍和思想大家百度或者Google一下就很容易找到，这里只是说一下要注意的地方。

蝶形算法中有这样一个有趣的规则：若输入信号的顺序为自然顺序，那么输出信号的顺序就为倒位序（算法参见4）顺序。

2、二维FFT的变换顺序：

首先进行行变换，对变换后的结果再进行列变换。

3、关于二维FFT运算后的结果

按照公式运算出的结果中，能量大部分分集中在四个角，如果我们想要能量集中在中间，我们需要成一个欧拉数，其实也简单，你可以在输入信号时做一个简单的变换，如下描述：

设i，j为输入信号的坐标，那么

输入信号可表示为x(i, j)， 若(i + j) % 2 == 0 则取源信号为输入信号，否则取源信号的相反数为输入信号，即 -x(i, j)。

运算出来的结果中，能量就集中在中间位置了。

4、关于倒位序算法

倒位序：就是将数字的各个尾反过来排序后得到的数字后的顺序，举个例子吧

如我们的输入8个信号，我们只需要三个位就可以描述着写信号的下标，比如1 = 001B， 2 = 010B等等，那么1的倒位后为100B = 4， 010B = 2，依此类推，这就是倒位序，最后生成的新的顺序就是排序后的结果，这个结果有一个特点，那就是把偶数和奇数分开，这也就是FFT的理论基础。

注：但是这个排序需要收到输入信号总量的限制，比如我们输入8个信号，虽然在计算机里我们的取值范围为00000000B ~ 00000111B 但是倒位序的却只针对最后三位，即只在最后三位的范围内倒位排序，如上面1的倒位序是100B而不是10000000B，这点请非常注意！

下面就是倒位序的算法的应用，用C写的，可惜CSDN的粘贴代码不支持C，大家将就看吧，至于原理，谈不上，只是个技巧，大家用手简单模拟算一下就可以完全理解了~

这个片段讲述了如何进行到位需排序，假设输入信号的实部为x，虚部为y，这里j是标示着要与当前位置i交换的元素的下标，如果不交换的话就会出现i >= j 的情况，整个过程还是建议大家拿手算一下，这样来的比较快。

n为输入信号的个数，k只是个中间变量而已。

// ...
j = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) ...{
    if (i < j) ...{
        tx = x[i];
        ty = y[i];
        x[i] = x[j];
        y[i] = y[j];
        x[j] = tx;
        y[j] = ty;
    }
    k = n >> 1;
    while (k <= j) ...{
        j -= k;
        k >>= 1;
    }
    j += k;
}
// ...

FFT变换步骤

做好了上面的准备，我们来概览一下FFT的变换步骤：

1、若输入信号的个数不是2的整数次方我们就要补齐信号，用零补齐就可以，详细参见笔者博客中《FFT实践中的一些补充》一文。

2、将输入信号进行倒位序排序

3、将输入信号成一个欧拉数，为的是输出结果中能量集中在中间，不乘也可以，视具体应用而定。

补充：只有一个变换方向可以产生能量及中的频谱图

4、进行傅立叶变换，若是二维FFT，那么先进行行变换，再对变换后的结果进行列变换，体现了二重积分的思想。

5、得到的结果通常不能直接输出谱图，因为值可能会很小，我们可以乘以255后输出，至于谱图，其实其实际意义没有多大，输出方法也不一样，比如matlab中就是取实部并乘以255然后输出，并且没有将能量中心移到屏幕中心，而笔者喜欢输出其乘以255后取模再除以100后的图。

 

 

第一幅是原图512 * 512 第二幅是它的谱图