几种常见窗函数的特性

几种常见窗函数的特性

解决一下上一篇的遗留问题

上一篇谈了FIR滤波器的加窗是什么,但是自觉得还是有些地方没有说明白,就好比模拟加窗过程都没有讲明白。

不过今天再看书时,又有所得,忽然明白了为什么模拟加窗过程出了问题,这是由于我之前对于数字滤波器的设计过程还很模糊。

窗函数设计法的设计思路:

  • 给定要求的理想频响,一般为分段常数
  • 转为时域设计,所以需要求出

  • 由于是无限时长的,所以需要加窗截断为,窗的长度为N

因为窗函数是在时域内截断,所以需要将理想滤波器转换到时域来处理。

  • 求出加窗后的实际频响

  • 检查是否满足,不满足就重复3、4步骤

我使用的子程序是书上提供的,可以产生一个理想滤波器。

今天突然对这个程序有了新的理解。因为这个是子程序产生的时域的滤波器,为了能够在电脑中存储,本来就已经加了一个矩形窗,因此它的频域波形存在波纹;而我又加一个矩形窗,对这个已经加了矩形窗的滤波器当然是一点效果都没有咯。

几种常见窗函数

回到今天的主题,今天探讨一下几种常见滤波器的特性和使用场景。

翻了很多遍书,发现对于滤波器的设计,主要关心的是过渡带宽(Transition bandwidth)通带边沿衰减(Passband ripple)阻带最小衰减(Minimum stopband attenuation),而且大部分的参数都是用dB作单位。

使用dB做单位的好处有:

  • 数值变小。由于分贝是取对数值,所以能很方便的表示大的数量的变化
  • 运算方便。放大器级联时,总的放大倍数是各级相乘。用分贝做单位时,总增益就是相加。
  • 方便感知。人对强度(光照、声音)的感知,接近于于强度的对数的正比。

至于为什么要这么多种窗呢?那是因为不同的窗特性不一样,比如最简单的矩形窗,虽然完成了截断工作,但是通带衰减大、阻带衰减小,导致能量的浪费;而之后的多种窗则或多或少的弥补了这些缺点。

矩形窗

矩形窗的定义为

频率响应函数为

因此

下面分析窗函数的主要参数:

 

 

  • 幅度响应第一个零点在

因此,主瓣宽度为为,因此传输带宽近似于

  • 第一个旁瓣大概在的位置,因此它的幅值为

对比主瓣的幅值,旁瓣幅值峰值为

三角形窗

由于吉布斯现象,矩形窗存在一个0到1的越变;而三角形窗则提供了一个比较缓慢的变化,它的定义式为:

谱密度函数表达式如下,’≈’仅当时成立

主瓣宽度为,旁瓣峰值衰减为25dB

 

汉宁窗(Hanning)

这是一个升余弦窗,被定义为

主瓣宽度为,旁瓣峰值衰减为31dB

 

海明窗(Hamming)

海明窗和汉宁窗很像,不同的是它有一部分是不连续的,被定义为

主瓣宽度为,旁瓣峰值衰减为41d

 

布莱克曼窗(Blackman)

这个窗函数和前两个窗函数很像,不过增加了升余弦的二次谐波分量,被定义为

主瓣宽度为,旁瓣峰值衰减为57dB

 

凯泽窗(Kaiser)

这是一个非常有用的窗函数,它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣宽度,这是其他窗函数不具备的,被定义为

是第一类零阶贝塞尔函数,是用来调整窗函数性能的参数

本人使用的

 

如何选择窗函数

选择窗函数可以参考前文中的窗函数设计法

先确定自己的需求,然后根据窗函数的极限性能,做出选择,最后再验证这个窗函数是否符合需求


本文中的代码已上传本人的github


参考书籍:

  • _DigitalSignalProcessingUsingMatlabv4.0_JohnG.Proakis
  • 《数字信号处理教程》程佩青

几种常见窗函数的特性_第1张图片

 

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