堆和哈夫曼树

什么是堆

优先队列(Priority Queue)

特殊的“队列”，取出元素的顺序依照元素的优先权（关键字）大小，而不是元素进入队列的先后顺序

1. 采用数组实现优先队列

• 插入——元素总是插入尾部
• 删除——查找最大（或最小）关键字，从数组中删去需要移动的元素

2. 采用链表实现优先队列

• 插入——元素总是插入链表头部
• 删除——查找最大（或最小）关键字删除结点

3. 采用有序数组实现优先队列

• 插入——找到合适位置移动元素并插入
• 删除——删去最后一个元素

4. 采用有序链表实现优先队列

• 插入——找到合适的位置插入元素
• 删除——删除首元素或最后元素

5. 采用完全二叉树存储结构（最优）

堆的两个特性

1. 结构性：数组表示的完全二叉树
2. 有序性：任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值（或最小值）

• “最大堆(MaxHeap)”，也称“大顶堆”：最大值
• “最小堆(MinHeap)”，也称“小顶堆”：最小值

堆的抽象数据类型描述

类型名：最大堆(MaxHeap)
数据对象集：完全二叉树，每个结点的元素值不小于其子节点的值

1.最大堆的创建

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct
{
	ElementType *Elements;/*存储堆元素的数组*/
	int Size;/*堆的当前元素个数*/
	int Capacity;/*堆的最大容量*/	
}
MaxHeap Create(int MaxSize)
{
	MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct));
	H->Elements = malloc((MaxSize+1) * sizeof(ElementType));
	H->Size = 0;
	H->Capacoty = MaxSize;
	H->Elements[0] = MaxData;/*定义为“哨兵”，为大于堆中所有元素的值，方便以后操作*/
	return H;
}

2. 最大堆的插入

void Insert(MaxHeap H,ElementType item)
{
	int i;
	if(isFull(H))
	{/*最大堆已满*/
		return;
	}
	i = ++H->Size;/*i指向插入后堆中的最后一个元素的位置*/
	for( ;H->Elements[i / 2] < item; i /= 2)
	{
		H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
	}
	H->Elements[i] = item;
}

3. 最大堆的删除

ElementType DeleteMax(MaxHeap H)
{
	int parent,child;
	ElementType MaxItem,temp;
	if(IsEmpty(H))
	{/*如果堆为空就没有必要删除*/
		return;
	}
	MaxItem = H->Elements[1];/*取出根结点最大值*/
	temp = H->ElementType[H->Size--];/*删除一个元素后大小要减1*/
	for(parent = 1; parent * 2 <= H->Size/*判别有没有左儿子*/; parent = child)
	{
		child = parent * 2;
		if( (child != H->Size) /*判别有没有右儿子*/&& 
			(H->Elements[child] < H->Elements[child + 1]) )
		{/*把child指向左右儿子中大的*/
			child++;
		}
		if(temp >= H->Elements[child]) break;/*如果temp大于左右儿子就直接插入*/
		else
		{
			H->ELements[parent] = H->Elements[child];		
		}
	}
	H->Elements[parent] = temp;
	return MaxIteml
}

最大堆的建立

堆的应用：堆排序

1. 通过插入操作，将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去
2. 在线性时间复杂度下建立最大堆：

• 将N个元素按输入顺序存入，先满足完全二叉树的结构特性
• 调整各结点的位置以满足最大堆的特性

哈夫曼树与哈夫曼编码

哈夫曼树的定义

带权路径长度(WPL)，设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值Wk，从根节点到每个叶子结点的长度为Ik，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是:
最优二叉树和或哈夫曼树：WPL最小的二叉树

哈夫曼树的构造

每次把权值最小的两棵二叉树合并

typedef struct TreeNode *HufffmanTree;
struct TreeNode
{
	int weight;
	HuffmanTree Left,Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{
	int i;
	HuffmanTree T;
	BuildMinHeap(H);/*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/
	for(int i = 1; i < H->Size; i++)
	{	
		T = malloc(sizeof(struct TreeNode));
		T->Left = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点*/
		T->Right = DeleteMin(H);/*从最小堆中删除一个结点*/
		T->Weight = T->Left->Weight + T->Right->Weight;
		Insert(H,T);
	}
	T = DeleteMin(H);
	return T;
}

哈夫曼树的特点

• 没有度为1的结点
• n个叶子结点的哈夫曼树共有2n - 1个结点
• 哈夫曼树任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
• 对于同一组权值，存在不同构的两棵哈夫曼树，但WPL相同

哈夫曼编码

前缀码(prefix code)：任何字符的编码都不是另一个字符编码的前缀，可以避免二义性
采用二叉树进行编码

• 左右分支：0,1
• 字符只在叶结点上

参考题目05-树9：Huffman Codes (30分)