一点初等数论（扩展欧几里得，求逆元的三种方法）

以前遇到数论题直接懵逼，今天开始好好搞搞基础的数论知识。
一下内容证明我可能会省略，毕竟我太弱了….
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1.模运算

几个常用的定律：

( a + b ) mod p = ( a mod p + b mod p ) mod p

( a * b ) mod p = ( (a mod p) * (b mod p) ) mod p

c * ( a mod p ) = ( c *a ) mod ( c *b ) ————————条件：(c*y!=0)

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2.欧几里得算法

其实就是求最大公约数的辗转相除法
以下是抄来的证明，毕竟我太菜………..

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首先考虑一下：

对于任意两个正整数 a,b ，都有：

a=kb+r  (k,r∈N)

所以有：

r=a%b  （在这里，%指的是取余运算）

然后我们假设 c 是 a 和 b 的最大公约数，即

c=gcd(a,b)

然后，我们就能得到：

 c|a    c|b  （x|y 表示 x 能够整除 y ， y能被x整除 , 也就是y/x是整数）

然后又因为上面那个式子，有：

r=a−kb

所以有：

c|r

那么我们就可以知道，既然a和b的因数也是b和（a%b）的因数，那么它们的最大公因数肯定也是相同的。

整合一下上面的式子，我们可以得到：

c=gcd(b,r)

即

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)     ----------gcd(a,b)表示a和b的最大公约数

而且

gcd(a,0) =  a

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辗转相除法函数代码：

int gcd(int a,int b)//就是欧几里得算法函数，即辗转相除法，求gcd(a,b)
{
    int c;
    while(b!=0)
    {
        c=a;
        a=b;
        b=c%b; 
    }
    int ans=a;
    return ans;
}

这里还有一个点：lim ( a , b ) * gcd ( a , b ) =a * b ————————-这里lim( a, b )表示a和b的最小公倍数

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3.扩展欧几里得算法

由于我实在是菜鸡，只能把别人的证明截屏下来

dalao的博客传送门：https://blog.sengxian.com/algorithms/gcd-extgcd

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这里有一道例题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082

题目就是求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解

可能乍一看，ax ≡ 1 (mod b)跟上面的ax+by=gcd(a,b)这一个方程不太一样啊，没事，让我们来推导一下。
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首先,题目保证了b是素数，即gcd(a,b)一定是1

我们设r=a*x%b, 有a*x=b*k+r
然后ax ≡ 1 (mod b)就转换为了a*x-b*k=1

然后我们再设 y=-k,方程就转换成了 a*x+b*y=1

即a*x + b*y = gcd(a,b) = 1

就是妥妥的扩展欧几里得算法嘛！！！ 递归求x的值就好啦！！！！

这里我还要提一下：我们递归求出来的x可能并不是最小正整数，还看是负数，我们这时候就需要处理一下。需要将x mod p,然后加上p（为了搞定负数）,再mod p,代码就是：x = (x%p+p) % p;

#include
#include
#include
using namespace std;
long long x,y,n;//最好定全局变量
void exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0) //当b=0时就是遇到了特解，可以递归回去算答案了
    {
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long k;
    k=x;
    x=y;
    y=k-(a/b)*y;
}
int main()
{
    long long a,p;
    scanf("%d%lld",&a,&p);
    exgcd(a,p);
    cout<<(x%p+p)%p;
    return 0;
}

4.乘法逆元

以下内容有些摘抄自dalao博客，传送门：https://www.luogu.org/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan

算逆元的三个方法：

第一个方法：

inline void exgcd(LL a,LL b)//扩展欧几里得算法求乘法逆元
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    LL k;
    k=x;
    x=y;
    y=k-(a/b)*y;
}

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第二个方法:

int quick(int x,int p)//快速幂求乘法逆元，谨记，p是一个素数
{
    int ans=1;
    int d=p-2;
    while(d)
    {
        if(d%2==1)
        {
            ans*=x;
            ans%=p;
        }
        x*=x;
        x%=p;
        d/=2;
    }
    return ans;
}

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第三个方法：
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这里有一个模板题目，就是洛谷的 P3811 【模板】乘法逆元
题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811

#include
#include
#include
using namespace std;
long long x,y,n,f[3000010];
void work(long long n,long long p)//线性求逆元，时间复杂度O(n) 
{
    f[1]=1;
    for(long long i=2;i<=n;i++)
    {
        f[i]=-(p/i)*f[p%i];
        f[i]=(f[i]%p+p)%p;
    }
}
int main()
{
    long long a,p,b,n,i;
    cin>>n>>p;
    work(n,p); 
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%lld\n",f[i]);//处理出   最小正整数！！
    }

    return 0;
}