如何理解超平面？

超平面的公式

首先明确几个定义：(1) 超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。(2) 法向量是指垂直于超平面的向量。

在  空间中，假如有法向量，过原点的平面内任意原点出发的向量 x 必然与之满足

                                                                           

。如果平面沿着法向量的方向上下平移了，那么这个方程就不成立了。

我们假设平移之后平面经过 ，平面内任意一点记为 ，法向量记为 ，如下图。

                                          

                                                                   平面公式示意图

 

不难看出，在平面内，当然也就和法向量垂直。于是我们有：

                                                                     

                                                                                                     
化简后得：

                                                。

即

                                                                       

。由于其为常数项，令

                                                                       

，于是超平面的公式可以写成：

                                                                       

这个结论同样适用于  空间；

1. 无论超平面如何平移，系数始终是法向量 。

点到超平面的距离

                                       

                                                                        点到超平面距离

上图中  是平面外的一点。我们要求的距离记为  ，也就是红色的线段。根据三角函数可以得到：

                                                                  

（空间中一点向超平面作垂线， 只能是锐角，不必担心正负）。因为 肯定和法向量平行，所以这样来算夹角：

                                                                  

（因为法向量可能反向，所以给等式左边加上绝对值），联立得：

                                                               
因为 在超平面内，，于是最后得到的任意点到超平面的距离公式：

                                                               

作者：老坛酸菜君
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来源：简书
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