浙大数据结构——5.2哈夫曼树与哈夫曼编码

什么是哈夫曼树

哈夫曼树的定义

带权路径长度：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值Wk，从根结点到每个叶子结点的长度为lk，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：

【例】有五个叶子结点，权值分别为[1,2,3,4,5]，用此权值序列可以构造出不同的多个二叉树。

     

1、WPL = 5X1 + 4X2 + 3X3 + (1+2)X4 = 34     

2、WPL = 1X1 + 2X2 + 3X3 + (5+4)X4 = 50

3、WPL = 3X2 + (4+5)X2 + (1+2)X3 = 33

 

哈夫曼树的构造

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode{
	int Weight;
	HuffmanTree Left,Right;
}; 
HuffmanTree Huffman(MinHeap H){
	int i;
	HuffmanTree T;
	BuildMinHeap(H);
	for(i = 1; i < H->Size; i++){
		T=malloc(sizeof(struct TreeNode));
		T->Left = DeleteMin(H);
		T->Right = DeleteMin(H);
		T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;
		Insert(H,T);
	} 
	T = DeleteMin(H);
	return T;
}

 哈夫曼树的特点

1、没有度为1的结点。

2、n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点。

3、哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树。

4、对同一组权值，存在不同构的两棵哈夫曼树。

哈夫曼编码

给定一段字符串，如何对字符进行编码，使得该字符串的编码存储空间最小。

【例】假设有一段文本包含58个字符，并由以下7个字符字符构成：a，e，i，s，t，空格(sp)，换行(nl)，只是出现的次数不同。如何对这7个字符编码（只能用0和1表示一个字符）？

方法1：用等长ASCII码：（每个字符用8位表示）58X8=464位。

方法2：用等长3位编码：（3位数，每位选择0或1表示，能表示8种字符）58X3=174位。

方法3：出现频率高的字符编码短，出现频率低的字符编码长。

方法3要求避免编码二义性，可以用二叉树进行编码。

 

Q：为五个使用频率不同的字符设计哈夫曼编码，下列方案中哪个不可能是哈夫曼编码？

A.00，100，101，110，111

B.000，001，01，10，11

C.0000，0001，001，01，1

D.000，001，010，011，1

A：选A。画出A的图为：（图来自百度知道）

可以看出，a节点的度为1。哈夫曼树结点的度不能为1。所以不对。

Q：一段文本中包含对象{a,b,c,d,e}，其出现次数相应为{3,2,4,2,1}，则经过哈夫曼编码后，该文本所占总位数为：

A.12

B.27

C.36

D.其它都不是

A：选B。画图如下：

文本所占总位数=3X1+3X2+2X2+2X3+2X4=27