灰度直方图处理

（一）直方图均衡

   我们注意到，在暗的图像中，其直方图的分量主要集中在灰度级较暗的一段。同样，低对比度的图像，其直方图的分量较窄。可以设想，若将直方图的分量均匀地平铺在灰度级上，可以得到一幅灰度细节丰富，且动态范围较大的图像。

    首先在连续域做数理推导，对于连续灰度值，0表示黑色，L-1表示白色，有如下的灰度变换：

 

    T(r)满足条件在定义区间上是一个严格单调递增函数。严格单调递增保证了s到r的映射和反映射是一对一的，并且输入和输出的范围相同。令和表示随机变量r和s的概率密度函数，和表示其累积分布函数，有

注意到，数字图像是离散域，并没有概率密度函数，但对应的有概率函数。由于映射前后对应位置上的累积分布是相同的，可以得到

两边对r求导

得到

由于均衡的直方图概率密度，代入得

对区间积分得

对于离散域

（2）直方图规定

    若希望直方图的形状不仅仅是均匀的，而是人为规定的形状。设r为待处理点，z为处理点，s为直方图均衡化点，为r到s的灰度变换，为z到s的灰度变换。此时有

所以

展开Tr，Tz

 

 

得另一形式