【数据结构与算法分析】07：堆排序

1.堆

（二叉）堆数据结构是一种数组对象，可以被视为一颗完全二叉树。表示堆的数组A是一个具有两个属性的对象：length[A]是数组中元素个数，heap-size[A]是存放在A中的堆的元素个数，heap-size[A]<=length[A]。树的根表示为A[1]，给定某结点下标i，其父节点PARENT(i) = i/2（向下取整），LEFT[i] = 2i，RIGHT[i] = 2i+1。

2.保持堆的性质

二叉堆有两种：最大堆和最小堆，最大堆是本文讨论的主要类型，最大堆的性质就是，堆中最大元素存放在根结点中，且，以任意一个结点为根的子树中，各结点的值都不大于该子树根结点的值。

2.1算法

MAX-HEAPIFY是对最大堆操作的重要子程序，其输入为一个数组A和下标i，当A[i]小于其子女时可能违背最大堆性质，为了保持堆的性质，调用MAX-HEAPIFY，MAX-HEAPIFY让A[i]在最大堆中“下降”，使以i为根的子树成为最大堆。具体的伪代码如下所示：

MAX_HEAPIFY(A,i)
1 l ← LEFT(i)
2 r ← RIGHT(i)
3 if l <= heap-size[A] and A[l] > A[i]
4   then largest ← l
5   else largest ← i
6 if r <= heap-size[A] and A[r] > A[largest]
7   then largest ← r
8 if largest ≠ i
9   then exchange A[i] ‹-› A[largest]
10      MAX_HEAPIFY(A,largest)  

下图描述了MAX_HEAPIFY的过程：

在算法中，每一步，从元素A[i]，A[LEFT(i)]和A[RIGHT(i)]中找出最大的，将下标存在largest中，如果A[i]是最大的，即i=largest，则以i为根的子树已经是最大堆，如果A[i]不是最大的，则交换A[i]与A[largest]，将i“下降”，堆该子树递归调用MAX-HEAPIFY。

2.2算法分析

当MAX-HEAPIFY作用在一棵以结点i为根、大小为n的子树上时，其运行时间为调整元素A[i]、A[LEFT(i)]和A[RIGHT(i)]的关系所用时间为θ(1)的常数时间，再加上对以i的某个子节点为根的子树递归调用MAX-HEAPIFY所需的时间。i结点的子树大小至多为2n/3（最坏情况发生在底层恰好半满的时候），那么MAX-HEAPIFY的运行时间如下：

T(n)≤T(2n/3)+θ(1) T ( n ) ≤ T ( 2 n / 3 ) + θ ( 1 )

根据主定理的情况2，该递归式的解为

T(n)=O(lgn) T ( n ) = O ( l g n )

可以说，MAX-HEAPIFY作用于一个高度为h的结点所需的运行时间为O(h)。

3.建堆

3.1算法

有了上述的MAX-HEAPIFY方法来保持堆的性质，我们就可以自底向上的用MAX-HEAPIFY来将一个数组A[1,2,…n]变成一个最大堆。由完全二叉树的性质可知，子数组A[(n/2+1)..n]中的元素都是树中的叶子，因此每个都可以看做是只含一个元素的堆。过程BUILD-MAX-HEAP对树中每一个其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY。具体算法如下：

BUILD-MAX-HEAP(A)
1 heap-size[A] ← length[A]
2 for i ← [length[A]/2] downto 1
3   do MAX-HEAPIFY(A,i)

下图给出建堆过程的一个例子：

3.2算法分析

很简单的能得到BUILD-MAX-HEAP运行时间的一个上界：每次调用MAX-HEAPIFY的时间为O(lgn)，共有n次调用，故运行时间为O(nlgn)。这个界虽然正确，但是并不紧确，我们可以得到一个更紧确的界。在树中，不同高度的结点处运行MAX-HEAPIFY的时间不同，而大部分结点的高度较小。我们可以知道这样一个性质：一个n元素堆的高度为[lgn]，并且在任意高度h上，至多有[n/2^(h+1)]个结点，于是我们可以将BUILD-MAX-HEAP的代表表达为：

∑h=0[lgn][n2h]O(h)=O(n∑h=0[lgn][n2h]) ∑ h = 0 [ l g n ] [ n 2 h ] O ( h ) = O ( n ∑ h = 0 [ l g n ] [ n 2 h ] )

根据公式

∑k=0∞kxk=x(1−x)2 ∑ k = 0 ∞ k x k = x ( 1 − x ) 2

带入x=1/2，可得

O(n∑h=0[lgn][n2h])=O(n) O ( n ∑ h = 0 [ l g n ] [ n 2 h ] ) = O ( n )

这说明，可以在线性时间内，将一个无序数组建成一个最大堆。

4.堆排序算法

4.1算法

开始时，堆排序算法先用BUILD-MAX-HEAP将输入数组A[1..n]构造成一个最大堆，因为数组中最大元素在根A[1]，所以可以通过将A[1]与A[n]互换，此时从堆中“去掉”结点n，可以很容易的将A[1..(n-1)]建造成最大堆。堆排序算法重复这个过程，堆的大小从n-1降到2，即可获得最终的排序结果，具体算法如下：

HEAPSORT(A)
1 BUILD-MAX-HEAP(A)
2 for i ← length[A] downto2
3   do exchange A[1] <-> A[i]
4       heap-size[A] ← heap-size[A-1]
5       MAX-HEAPIFY(A,1)

下图给出一个排序的例子：

4.2算法分析

HEAPSORT过程的时间代价为O(nlgn)。其中调用BUILD-MAX-HEAP的时间为O(n)，n-1次MAX-HEAPIFY调用中每一次的时间代价为O(lgn)。