相机模型与标定（学习笔记）

相机模型与标定

内外参定义

相机中有四个坐标系，分别是{world}、{camera}、{image}、{pixel}

• {world}：世界坐标系，可以任意指定x_w和y_w轴
• {camera}：相机坐标系，原点位于小孔，z轴与光轴重合，x_c轴和y_c轴平行投影面
• {image}：图像坐标系，原点位于光轴和投影面的交点，x_p轴和y_p轴平行投影面
• {pixel}：像素坐标系，从小孔向投影面方向看，投影面的左上角为原点O_pix，uv轴和投影面两边重合

关系

• 从{world}到{camera}

  • 设某点在{world}中的坐标P_w=(x_w, y_w, z_w)^T，在{camera}中的坐标为P_c=(x_c, y_c, z_c)^T，则：
    
    • R为正交旋转矩阵
      
    • T为平移矩阵
      

• 从{camera}到{image}

  • 设空间点X_c在{camera}下：P_c=(x_c, y_c, z_c)^T，其像点m在{image}的齐次坐标为m=(x_p, y_p, 1)^T。由图中相似三角形可得：
    
    写成矩阵表示：
    
  • 实际中，主点可能不在图像坐标系原点，若主点在图像坐标系中的坐标为P=(x₀, y₀, 1)^T，则
    

• 从{image}到{pixel}

  • 假设一个像素的长和宽分为为dx，dy，设像素坐标Pix=(u, v, 1)^T，则
    
  • 结合{camera}到{image}的变换，则{camera}到{pixel}的变换矩阵K为：
    
    其中，f_x=f/dx，f_y=f/dy，称为相机在u轴和v轴方向上的尺度因子。相机主点为：(u₀, v₀)^T=(u₀/dx, v₀/dy)^T

• 从{world}到{pixel}

  • 四个坐标系的变换过程：
    
  • 矩形表示为：
    
    • 其中K为内参
    • 外参：
      

标定方法概述

• 打印一张棋盘格A4纸张（黑白间距已知），并贴在一个平板上
• 针对棋盘格拍摄若干张图片（一般10~20张）
• 在图片中检测特征点（Harris特征）
• 利用解析解估算方法计算出5个内部参数，以及6个外部参数
• 根据极大似然估计策略，设计优化目标并实现参数的refinement

标定板介绍

例：

标定方法

计算外参

设三维世界坐标点为M=[X, Y, Z, 1]T，二维相机平面像素坐标为m=[u, v, 1]T，所以标定用的棋盘格平面到图像平面的单应性关系为sm=A[R, t]M，其中

• s：世界坐标系到图像坐标系的尺度因子
• A：相机内参矩阵
• (u₀, v₀)：像主点坐标
• α，β：焦距与像素横纵比的融合
• γ（gamma）：径向畸变参数
• R：旋转矩阵
• t：平移向量
  

不妨设棋盘格位于Z=0，定义旋转矩阵R的第i列为r_i，则有：

令H=[h₁, h₂, h₃]=λ[r₁, r₂, t]，于是空间到图像的映射可改为：sm=HM，其中H是描述Homographic矩阵，H是一个齐次矩阵，所以有8个未知数，至少需要8个方程，每对对应点能提供两个方程，所以至少需要四个对应点，就可以算出世界平面到图像平面的单应性矩阵H。

外部参数可通过Homography求解，由H=[h₁, h₂, h₃]=λ[r₁, r₂, t]可推出

计算内参

由r₁和r₂正交，且r₁和r₂的模相等，可以的得到如下约束：


则B中未知量可表示为6D 向量b，b=[B₁₁ B₁₂ B₂₂ B₁₃ B₂₃ B₃₃]^T

设H中的第i列为h_i，则h_i=[h_i1 h_i2 h_i3]^T，根据b的定义，可以推导出如下公式

即

内部参数可通过如下公式计算（cholesky分解）：

上述的推导结果是基于理想情况下的解，但由于可能存在高斯噪声，可以使用最大似然估计进行优化。

手眼标定

• 手眼标定
• 相机标定(三)——手眼标定