常见积分和导数的推导

导数：

1.$y=arcsinx$的导数：
$$\begin{gathered} y=\arcsin x \\ \to x=\sin y \\ \to 1=y^{\prime }\cos y \\ \to y^{\prime }=\frac{1}{\cos y} \\ \to y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{gathered}$$
2.$y=arctanx$的导数：
$$\begin{gathered} y=\arctan x \\ \to x=\tan y \\ \to 1=\frac{y^{\prime }}{{\cos }^{2}y} \\ \to y^{\prime }={\cos }^{2}y \\ \to y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

下面都是同理，原理是隐函数求导。

$y=arccosx$的导数
$y=arccotx$的导数
$y=arcsecx$的导数
$y=arccscx$的导数

三角函数的导数、等式、相互的转换关系，可以看之前写的

积分：

1.$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}$$

2.$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$$

在math.stackexchange里面看到了一个相当NB的解答，这种解法同样可以求$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$

3.$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$$
解法同上，只有y的值改变了，其他都不变。

4.$$\int \sec xdx$$