1055: 兔子繁殖问题

题目描述

这是一个有趣的古典数学问题，著名意大利数学家Fibonacci曾提出一个问题：有一对小兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子。小兔子长到第3个月后每个月又生一对兔子。按此规律，假设没有兔子死亡，第一个月有一对刚出生的小兔子，问第n个月有多少对兔子？

输入

输入月数n（1<=n<=44）。

输出

输出第n个月有多少对兔子。

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2

提示

本题是一个经典的递推入门题目： 用f(n)表示第n个月的兔子数目，则： f(n) = f(n-1) + 本月新生兔子数 而，本月新生兔子数 = f(n-2) (因为上上个月已存在的每只兔子，本月都会新生一只兔子） 所以，f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这就是著名的Fibonacci数列，后一项等于前两项的和： 1 1 2 3 5 8…

解题方法

由题意知：本题符合Fibonacci数列，求第n个月有多少对兔子即求F(n)的值。
方法一：循环求解
方法二：递归求解
递归方程：
F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)
方法三：动态规划

方法一：循环求解

	unsigned Odd_1 = 1;             //奇数月，这里辅助标记指向（表示）第一个月有一对兔子
	unsigned Even_2 = 1;            //偶数月，这里辅助标记指向（表示）第二个月有一对兔子

	if (ItemNumber == 1)
		cout << Odd_1;
		
	else if (ItemNumber == 2)
		cout << Even_2;
		
	else
	{
		for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2)
		{
			Odd_1 += Even_2;
			Even_2 += Odd_1;
		}
		
		if (ItemNumber % 2 == 1)
			cout << Odd_1;
		else
			cout << Even_2;
	}

方法二：递归求解¹

unsigned FibonacciRecu(unsigned n)
{
	if (n == 1 || n == 2)
		return 1;
	else
		return FibonacciRecu(n - 1) + FibonacciRecu(n - 2);
}

方法三：动态规划

	FibonacciValue[0] = 0;       //因数组下标是从0开始的，所以为了将下标与月相对应，根据题意将FibonacciValue[0]存入0
	FibonacciValue[1] = 1;       //第一个月有一对兔子
	for (int i = 2; i <= ItemNumber; i++)
		FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];
	cout << FibonacciValue[ItemNumber];

程序代码如下（使用C++）

#include
#include

using namespace std;

int main()
{
	unsigned ItemNumber;
	cin >> ItemNumber;

	unsigned Odd_1 = 1;             //奇数月，这里辅助标记指向（表示）第一个月有一对兔子
	unsigned Even_2 = 1;            //偶数月，这里辅助标记指向（表示）第二个月有一对兔子

	if (ItemNumber == 1)
		cout << Odd_1;

	else if (ItemNumber == 2)
		cout << Even_2;

	else
	{
		for (int i = 3; i <= ItemNumber; i += 2)
		{
			Odd_1 += Even_2;
			Even_2 += Odd_1;
		}

		if (ItemNumber % 2 == 1)
			cout << Odd_1;
		else
			cout << Even_2;
	}

	/*
	vector FibonacciValue;

	FibonacciValue.push_back(0);       //FibonacciValue[0] = 0;
	FibonacciValue.push_back(1);       //FibonacciValue[1] = 1;

	for (unsigned i = 2; i <= ItemNumber; i++)
		FibonacciValue.push_back(FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2]);     
	  //FibonacciValue[i] = FibonacciValue[i - 1] + FibonacciValue[i - 2];

	cout << FibonacciValue[ItemNumber];
	*/

	return 0;
}

程序运行结果如下

---

1. 本题使用递归求解会因时间超限而出错 ↩︎