图论网络流

DFS

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• dfs树
  • 无向图：只有树边和非树边

    • 每条非树边对应一个环：判仙人掌
    • 对于一个联通块忽略所有非树边进行一些操作：证明，构造

  • 有向图：树边、回向边、前向边、同层之间的边
  • 只有树边和前向边会从dfs序小的指向大的：Dominator Tree
• dfs序
  • 无向图：dfs树上的每个子树对应dfs序的一个区间

    • 主要是在树上使用
    • 点/边双联通分量

  • 有向图：强连通分量
  • DAG：拓扑序

 

BFS

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• 无向图：边只会在同一层或隔一层之间连边
• 最短路、计数
• 有向图：d(u)+w(u,v)>=d(v)
• 魔改的拓扑排序

 

强连通分量

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• 套路1：缩点后在DAG上搞事
• 套路2：特定算法只在强连通图上有用
• 套路3：竞赛图上的强连通性

  • 竞赛图缩点之后是一条链，可以动态维护强连通性
  • 竞赛图上各种计数

 

双联通分量

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• 熟练掌握点双和边双求法

  • 点双：边不重复，重复的点叫割点
  • 边双：点不重复，不存在的边叫桥

• 套路1：把边双缩成树之后搞事
• 套路2：把点双建成圆方树之后搞事：图上两点之间所有路径的并等价于圆方树上两点的路径
• 套路3：动态维护双联通性

 

最短路

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• SPFA：它死了
• OI中能用Dijkstra算法一定不要用SPFA
• 套路1：删点/边之后询问最短路：在最短路树上删点/边
• 套路2：在最短路图上搞事情（注意当有零环时不一定是DAG，需要特殊处理）
• 套路3：各种奇妙的优化建图

  • 线段树优化、分块优化
  • 通过分析删掉不可能用到的边

• 边权小可以用桶代替堆
• 套路4：差分约束系统

  • 如果限制形如f(x)-f(y)<=w(x,y)就能转化成最短路，相当于最短路的对偶
  • 差分/前缀和为变量
  • 可能会出现负数

 

K短路

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• 掌握O(k log k + m log n)的做法（可并堆）
• 求第k优方案：构造图使得每个方案对应一条路径

 

欧拉回路

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• 有向/无向图上欧拉路/欧拉回路求法
• 套路1：给无向图定向使每个点度数= -1/ 0 / 1
• 套路2：构造

 

2-SAT

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• 熟练掌握求解方法
• 套路1：优化建图

  • 各种数据结构优化
  • 前缀、后缀优化
  • 建立辅助变量

• 套路2：魔改部分限制

  • 相当于图中加边/删边
  • 可能需要bitset求连通性

• 套路3：各种魔改形式的SAT问题

 

最小生成树

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• 掌握Prim/Kruskal/Boruvka算法
• 套路1：最小瓶颈路为最小生成树上的路径
• 套路2：动态最小生成树（加边）：lct维护，每次加边都删除路径上最大的一条边
• 套路3：动态维护图的连通性：以边的删除时间维护最大生成树
• 套路4：完全图的最小生成树，权值为点权的某种操作

  • 去掉无用边：曼哈顿距离（莫队算法乱搞用），gcd
  • 用Boruvka/Prim，数据结构维护最小出边：XOR

• 扩展：最小生成环套树(Codeforces 875F)
• 改动Kruskal算法
• 正确性：未选择的边一定不在答案内
• 扩展：次小生成树

 

仙人掌

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• 大多数都可以转化为圆方树上的dp。
• 由于特殊性质也可以改动圆方树，使得单独一条边不构成点双。
• 仙人掌上的数据结构

 

杂项

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• 给定每个点的度数，构造满足条件的无向图/树
• 要求没有重边：

  • 每次选两个度最大的点连？
  • 每次选一个度最大的点和一些点连（充要条件）

• 不要求没有重边：

  • 只要求最大点度不超过总度数的一半，且总数是偶数
  • 每次选两个度最大的点连边

• 树：

  • 只要求和为2n-2，且每个点至少是1
  • 构造使用prufer序列

• 线性代数黑科技
• 在无向图的dfs树上给每个非树边分配一个随机整数权值
• 树边权值等于覆盖它的非树边权值异或
• 一组边集是割集当且仅当对应的权值线性无关
• Dominator Tree：至少应该知道DAG上的做法，以及当点数少时的压位做法。
• Steiner Tree：掌握裸的dp
• 网格图算法：分治、dp
• 平面图算法：对偶

 

网络流预备知识

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• 最小割最大流定理
• 增广路定理
• KM Algorithm
• Krap Algorithm
• Dinic Algorithm

• 在所有边的容量都是1的图上：O(min(V2/3,E1/2)E)
• 在存在一层容量都是1的分层图上：O(E1/2E)
• 在单位网络上：O(V1/2E)

 

二分图匹配

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• 最大匹配/最大权匹配
• 最小点覆盖/最小权点覆盖<=>最大独立集/最大权独立集
• 最小边覆盖/最小权边覆盖
• 求方案
• 套路1：对于匹配的调整  参见最大流/费用流的调整
• 套路2：Hall定理

  • 当且仅当一侧任意子集都>=邻居个数
  • 需要对题目性质的分析

• 套路3：w(u)+w(v)>=或<=s(u,v)的限制转化为KM求顶标
• 套路4：各种优化建图

  • 数据结构、分块、辅助节点
  • 只能使用网络流

 

网络流

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• 点有容量上下界
• 边有容量上下界

  • 一些基础原理
  • 有源汇最大流
  • 有源汇最小流
  • 费用流
  • 无源无汇可行流
  • 有源有汇可行流：在原图中连一条 t->s[0,inf] 的边，就转化成了无源无汇可行流

• 一些经典模型
• 有负环
• 套路1：流的调整

  • 最大流：残余网络上的环
  • 费用流：残余网络上的零环

• 套路2：一堆变量的限制，拆点之后连inf的边表示x>=v就一定满足x>=v-1
• 套路3：各种优化建图
• 套路4：线性规划对偶成网络流（没见过）
• 套路5：一堆等式，每个变量一正一负出现两次，根据流量平衡建图（没见过）
• 套路6：对于很有特点的图使用数据结构优化费用流