数据结构与算法（树和二叉树及python代码实现）

树的概念

树是一种抽象数据类型(ADT)或是视作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合，他是由n（n>1）个有限节点组成一个具有层次结构的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点
• 没有父节点的节点称为根节点
• 每一个非根节点有且只有一个父节点
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树

比如说：

树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互称为堂兄弟节点；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树（无任何研究价值）；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
         1、二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；
              1.1、完全二叉树：对于一颗二叉树，假设 其深度为d(d>1)。除了d层外，其他各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续的紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，

其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树；

            1.2、平衡二叉树（AVL）树：当且仅当任何节点的两颗子树的高度差不大于1的二叉树；
            1.3、排序二叉树：（二叉查找树，也称二叉搜索树、有序二叉树）
       2、霍夫曼树：（用于信息编码），带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
       3、B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

树的存储与表示

顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然后在遍历速度上有一定的优势，但因为 所占空间较大，是非主流二叉树，二叉树通常以链式存储。

链式存储：

由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2。

二叉树

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树称为“左子树”和“右子树”。

二叉树的性质（特性）

性质1: 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点（i>0）
性质2: 深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>0）
性质3: 对于任意一颗二叉树，如果其叶节点树为$N_0$，而度数为2的节点总数为$N_2$，则$N_0=N_2+1$
性质4: 具有n个节点的完全二叉树的深度必为$lo{g}_2(n+1)$
性质5: 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i的节点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i+1；其双亲的编号必为i/2(i=1时为根，除外)

二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有结点的访问称为遍历。那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历，深度优先遍历一般用递归，广度优先遍历一般用对队列。一般情况下能用递归算法的大部分也能用堆栈来实现。

二叉树添加元素及广度遍历

class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self, item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None
        
class Tree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root = None  #根节点
        
    def add(self, item):
        
        node = Node(item)
        if self.root is None: 
            self.root = node
            return
        queue = []#队列可以利用列表实现
        queue.append(self.root) #如果根节点存在，添加根节点
        while queue:
            #在添加元素前，要找到需要添加的节点的位置
            cur_node = queue.pop(0) #取出节点
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
                
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)
                
    def breadth_travel(self):        #广度遍历
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem)
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
                
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
        

if __name__ == "__main__":
    tree = Tree()#构建一个树
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)  
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.breadth_travel()

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索（depth first search）是沿着树的深度遍历树的结点，尽可能深的搜索树的分支。

那么深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的结点。它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历、中序遍历和后序遍历。我们来给出它们的详细定义，然后距离看看他们的应用。

• 先序遍历，在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，在递归使用先序遍历访问右子树
  根节点->左子树->右子树

def preorder(self,node):#每次都有不同的根节点
        """先序遍历"""
        if node is None:
            return 
        print(node.elem,end=" ")
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

• 中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后在递归使用中序遍历访问右子树
  左子树->根节点->右子树

def inorder(self,node):#每次都有不同的根节点
        """中序遍历"""
        if node is None:
            return 
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem,end=" ")
        self.inorder(node.rchild)

• 后续遍历 在后续遍历中，我们先递归使用后续遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点
  左子树->右子树->根节点

def posorder(self,node):#每次都有不同的根节点
        """后序遍历"""
        if node is None:
            return 
        self.posorder(node.lchild)
        self.posorder(node.rchild)
        print(node.elem,end=" ")