[数字信号处理]IIR滤波器的直接设计(C代码)

1.IIR滤波器的直接设计原理

        不利用模拟滤波器，直接进行数字滤波器的设计的方法，称为直接设计。回忆之前所说的IIR滤波器的直接设计，我们首先设计了巴特沃斯模拟滤波器，然后进行双线性变换，得到数字滤波器。我所使用的是巴特沃斯低通滤波器作为原型滤波器，其振幅特性如下所示。

        

        首先，我们先把数字滤波器的指标，根据下式转为模拟滤波器的指标。

        然后根据模拟滤波器的设计指标，计算次数N，然后计算极点，最后选择出稳定的极点，计算模拟滤波器的传递函数。然后，我们通过拉普拉斯反变换，再使用差分替代微分，得到了S平面-Z平面的对应关系，将其转为数字滤波器。

        详细的，戳链接  --------- [数字信号处理]IIR滤波器的间接设计（C代码）

        现在，我们将这个过程，稍微调整一下。

      1.1 巴特沃斯低通数字滤波器的设计

         首先，转换指标的公式，直接带入巴特沃斯低通模拟滤波器的振幅特性表达式，然后化简，我们可以得到一个新的振幅特性

同样的，这个振幅特性具有巴特沃斯低通模拟滤波器的一些特性。函数为单调递减的，通带与阻带都没有纹波。这个新的滤波器，称为巴特沃斯低通数字滤波器。

        与之前一样的，我们的首先先确定所需要的滤波器的次数N，根据次数计算出极点，选择稳定的极点来计算出传递函数，然后就可以得到滤波器的系数了。

        首先是次数的计算，次数的计算，还是要根据阻带衰减指标，根据下式计算。

将巴特沃斯低通数字滤波器的振幅特性带入，我们就可以计算出所需要的滤波器的次数N。

         下一步，我们是需要计算极点。这里与之前的间接设计不同，我们需要做一些变形。首先，将其振幅特性做平方，变为

然后，把 部分稍微做下变形，

然后，将 替换为Z，带入，则得到了如下式子

通过这个式子，就可以很方便的计算极点与零点。很容易的能看出，这个滤波器的零点是-1，并且为N重极点（这里是振幅特性的平方所以不是2N）。此时，分母多项式为

由于一步解开很麻烦，我们先将这个式子，关于 解开，我们可以得到如下解，

再解z，然后再我们就可以得到极点了，如下所示。

这里所求得的极点为2N个，为了所设计的滤波器是稳定的，我们需要选择出稳定的极点。在Z平面内，其摸小于1的极点，就是稳定的极点。或者来说，只要滤波器的所有极点均在Z平面的单位圆里，那么，这个滤波器就是稳定的。（题外话，由于FIR滤波器的极点全是0，故FIR滤波器无需考虑稳定性。因为FIR滤波器必定稳定。）

        最后，将极点带入传递函数的公式，就可以得到滤波器的系数了。

     

这里的K可以根据下式去求，

         到此，我们就设计出了一个IIR数字滤波器。

       1.1 巴特沃斯低通数字滤波器设计的实现（C语言）

         首先，还是次数的计算。代码如下

N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, IIR_Filter.Stopband_attenuation/10) - 1) / 
	 	   log10 (IIR_Filter.Stopband/IIR_Filter.Cotoff)));

         然后，是为了计算极点 ，我们先计算 。这里，将指数函数换为了三角函数。

poles_1.Real_part = (0.5)*Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
poles_1.Imag_Part= (0.5)*Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));	

         计算出 之后，我们计算极点 ，然后选择稳定的极点。

for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
{
    poles_1.Real_part = (0.5)*Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
    poles_1.Imag_Part= (0.5)*Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));	
 
    poles_2.Real_part = 1 - poles_1.Real_part ;
    poles_2.Imag_Part=   -poles_1.Imag_Part;   

    poles_1.Real_part = poles_1.Real_part + 1;
    poles_1.Real_part = poles_1.Real_part;
 
    Complex_Division(poles_1,poles_2,
 	                &poles[count].Real_part,
 	                &poles[count].Imag_Part);
	    
    if(Complex_Abs(poles[count])<1)
    {
        poles[count].Real_part = -poles[count].Real_part;
        poles[count].Imag_Part= -poles[count].Imag_Part;	 
	count++;
        if (count == N) break;
    }
   
} 

        这里的计算，用到了复数的乘法与绝对值。

int Complex_Division(COMPLEX a,COMPLEX b,
 	              double *Res_Real,double *Res_Imag)
{
     *(Res_Real) =  ((a.Real_part)*(b.Real_part) + (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part))/
			       ((b.Real_part)*(b.Real_part) + (b.Imag_Part)*(b.Imag_Part));

     *(Res_Imag)=   ((a.Real_part)*(b.Imag_Part) - (a.Imag_Part)*(b.Real_part))/
			      　((b.Real_part)*(b.Real_part) + (b.Imag_Part)*(b.Imag_Part));
     return (int)1; 
}
double Complex_Abs(COMPLEX a)
{
      return (double)(sqrt((a.Real_part)*(a.Real_part) + (a.Imag_Part)*(a.Imag_Part)));
}

        还有就是K的计算。

double K_z = 0.0;
for(count = 0;count <= N;count++)   {K_z += *(az+count);}
K_z = (K_z/pow ((double)2,N));

       最后，使用之前在IIR的间接设计的乘开算法，我们就可以得到一个模拟滤波器的系数了。

2.IIR滤波器的直接设计代码（C语言）

#include 
#include 
#include 
#include 


#define     pi     ((double)3.1415926)

typedef struct 
{
    double Real_part;
    double Imag_Part;
} COMPLEX;

struct DESIGN_SPECIFICATION
{
    double Cotoff;   
    double Stopband;
    double Stopband_attenuation;
};



int Ceil(double input)
{
     if(input != (double)((int)input)) return ((int)input) +1;
     else return ((int)input); 
}


int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,
	                                 double *Res_Real,double *Res_Imag)
	
{
       *(Res_Real) =  (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);
       *(Res_Imag)=  (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);	   
	 return (int)1; 
}

 int Complex_Division(COMPLEX a,COMPLEX b,
 	                                  double *Res_Real,double *Res_Imag)
{
        *(Res_Real) =  ((a.Real_part)*(b.Real_part) + (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part))/
			           ((b.Real_part)*(b.Real_part) + (b.Imag_Part)*(b.Imag_Part));
		
	 *(Res_Imag)=  ((a.Real_part)*(b.Imag_Part) - (a.Imag_Part)*(b.Real_part))/
			           ((b.Real_part)*(b.Real_part) + (b.Imag_Part)*(b.Imag_Part));

	 return (int)1; 
}

double Complex_Abs(COMPLEX a)
{
      return (double)(sqrt((a.Real_part)*(a.Real_part) + (a.Imag_Part)*(a.Imag_Part)));
}

double IIRFilter  (double *a, int Lenth_a,
                           double *b, int Lenth_b,
                           double Input_Data,
                           double *Memory_Buffer) 
{
    int Count;
    double Output_Data = 0; 
    int Memory_Lenth = 0;
    
    if(Lenth_a >= Lenth_b) Memory_Lenth = Lenth_a;
    else Memory_Lenth = Lenth_b;
    
    Output_Data += (*a) * Input_Data;  //a(0)*x(n)             
    
    for(Count = 1; Count < Lenth_a ;Count++)
    {
        Output_Data -= (*(a + Count)) *
                       (*(Memory_Buffer + (Memory_Lenth - 1) - Count));                                       
    } 
    
    //------------------------save data--------------------------// 
    *(Memory_Buffer + Memory_Lenth - 1) = Output_Data;
    Output_Data = 0;
    //----------------------------------------------------------// 
    
    for(Count = 0; Count < Lenth_b ;Count++)
    {    	
        Output_Data += (*(b + Count)) *
                       (*(Memory_Buffer + (Memory_Lenth - 1) - Count));      
    }
    
    //------------------------move data--------------------------// 
    for(Count = 0 ; Count < Memory_Lenth -1 ; Count++)
    {
    	*(Memory_Buffer + Count) = *(Memory_Buffer + Count + 1);
    }
    *(Memory_Buffer + Memory_Lenth - 1) = 0;
    //-----------------------------------------------------------//

    return (double)Output_Data; 
}


int Direct( double Cotoff,
	           double Stopband,
	           double Stopband_attenuation,
	           int N,
	           double *az,double *bz)
{
      printf("Wc =  %lf  [rad/sec] \n" ,Cotoff);
      printf("Ws =  %lf  [rad/sec] \n" ,Stopband);
      printf("As  =  %lf  [dB] \n" ,Stopband_attenuation);
      printf("--------------------------------------------------------\n" );
      printf("N:  %d  \n" ,N);
      printf("--------------------------------------------------------\n" );

      COMPLEX poles[N],poles_1,poles_2;
      double dk = 0;
      int k = 0;
	int count = 0,count_1 = 0;;
	
      if((N%2) == 0) dk = 0.5;
      else dk = 0;

      for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)
      {
             poles_1.Real_part = (0.5)*Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));
	     poles_1.Imag_Part= (0.5)*Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));	
 
             poles_2.Real_part = 1 - poles_1.Real_part ;
	     poles_2.Imag_Part=   -poles_1.Imag_Part;   

	     poles_1.Real_part = poles_1.Real_part + 1;
             poles_1.Real_part = poles_1.Real_part;
 
             Complex_Division(poles_1,poles_2,
 	                                &poles[count].Real_part,
 	                                &poles[count].Imag_Part);
	    
	     if(Complex_Abs(poles[count])<1)
	     {
	           poles[count].Real_part = -poles[count].Real_part;
		   poles[count].Imag_Part= -poles[count].Imag_Part;	 
	           count++;
		   if (count == N) break;
	     }
   
      } 

      printf("pk =   \n" );   
      for(count = 0;count < N ;count++)
      {
           printf("(%lf) + (%lf i) \n" ,-poles[count].Real_part
		                          	,-poles[count].Imag_Part);
      }
      printf("--------------------------------------------------------\n" );

      COMPLEX Res[N+1],Res_Save[N+1];

      Res[0].Real_part = poles[0].Real_part; 
      Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;

      Res[1].Real_part = 1; 
      Res[1].Imag_Part= 0;


      for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
      {
	     for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
	     {
	          if(0 == count)
		   {
 	                Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
						           &(Res_Save[count].Real_part),
						           &(Res_Save[count].Imag_Part));
	          }

	          else if((count_1 + 2) == count)
	          {
	                 Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
			    Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;	
	          }		  
		    else 
		    {
 	                 Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],
						           &(Res_Save[count].Real_part),
						           &(Res_Save[count].Imag_Part));
				
			    Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
			    Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
		    }
	     }

	     for(count = 0;count <= N;count++)
	     {
	           Res[count].Real_part = Res_Save[count].Real_part; 
                   Res[count].Imag_Part= Res_Save[count].Imag_Part;
		    *(az + N - count) = Res[count].Real_part;
	     }
      }

        double K_z = 0.0;
	for(count = 0;count <= N;count++)   {K_z += *(az+count);}
	K_z = (K_z/pow ((double)2,N));
	printf("K =  %lf \n" , K_z);

	for(count = 0;count <= N;count++)
	{
             Res[count].Real_part = 0;
	     Res[count].Imag_Part= 0;
	     Res_Save[count].Real_part = 0;
	     Res_Save[count].Imag_Part= 0;
	}

      COMPLEX zero;

      zero.Real_part  =  1;
      zero.Imag_Part =  0;

      Res[0].Real_part = 1; 
      Res[0].Imag_Part= 0;
      Res[1].Real_part = 1; 
      Res[1].Imag_Part= 0;

      for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)
      {
	     for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)
	     {
	          if(0 == count)
		   {
 	                Complex_Multiple(Res[count], zero,
						           &(Res_Save[count].Real_part),
						           &(Res_Save[count].Imag_Part));
	          }

	          else if((count_1 + 2) == count)
	          {
	                 Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
			    Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;	
	          }		  
		    else 
		    {
 	                 Complex_Multiple(Res[count],zero,
						           &(Res_Save[count].Real_part),
						           &(Res_Save[count].Imag_Part));
				
			    Res_Save[count].Real_part  += Res[count - 1].Real_part;
			    Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;
		    }
	     }

	     for(count = 0;count <= N;count++)
	     {
	           Res[count].Real_part = Res_Save[count].Real_part; 
                 Res[count].Imag_Part= Res_Save[count].Imag_Part;
		    *(bz + N - count) = Res[count].Real_part;
	     }
      }

	for(count = 0;count <= N;count++)
	{
           *(bz + N - count) = *(bz + N - count) * K_z;
	}
      	//------------------------display---------------------------------//
      printf("bz =  [" );   
      for(count= 0;count <= N ;count++)
      {
           printf("%lf ", *(bz+count));
      }
      printf(" ] \n" );
      printf("az =  [" );   
      for(count= 0;count <= N ;count++)
      {
           printf("%lf ", *(az+count));
      }
      printf(" ] \n" );
      printf("--------------------------------------------------------\n" );
	 
      return (int)1;
}






int main(void)
{
     int count;

     struct DESIGN_SPECIFICATION IIR_Filter;

     IIR_Filter.Cotoff      = (double)(pi/4);         //[red]
     IIR_Filter.Stopband = (double)((pi*3)/4);   //[red]
     IIR_Filter.Stopband_attenuation = 30;        //[dB]

     int N;

     IIR_Filter.Cotoff = 2 * tan((IIR_Filter.Cotoff)/2);            //[red/sec]
     IIR_Filter.Stopband = 2 * tan((IIR_Filter.Stopband)/2);   //[red/sec]

     N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, IIR_Filter.Stopband_attenuation/10) - 1) / 
	 	              log10 (IIR_Filter.Stopband/IIR_Filter.Cotoff)));

   
     double az[N+1] , bz[N+1];
     Direct(IIR_Filter.Cotoff,
	         IIR_Filter.Stopband,
	         IIR_Filter.Stopband_attenuation,
               N,
	         az,bz);

    double *Memory_Buffer;
    Memory_Buffer = (double *) malloc(sizeof(double)*(N+1));  
    memset(Memory_Buffer,
                0,
                sizeof(double)*(N+1));

     FILE* Input_Data;
     FILE* Output_Data;

     double Input = 0 ;
    double Output = 0;
	 
     Input_Data   = fopen("input.dat","r"); 
     Output_Data = fopen("output.txt","w"); 

     while(1)
     {
          if(fscanf(Input_Data, "%lf", &Input) == EOF)  break;

          Output = IIRFilter(  az, (N+1),
                                      bz, (N+1),
                                      Input,
                                      Memory_Buffer );
          
          fprintf(Output_Data,"%lf,",Output);
     	}

        
	
     printf("Finish \n" );
	 
     return (int)0;
}

3.IIR滤波器的直接设计(例)

       3.1 设计指标

          

         3.2 程序执行结果

             根据之前所说的原理，使用前面的程序，我们可以得到满足设计指标的IIR滤波器的参数。程序在gcc下编译通过，执行结果如下

           3.3设计出来的IIR滤波器的频响

 

            3.4实际滤波效果

                首先，设定采样频率为10kHz，计算出如下非正规化频率

        

我们的为验证滤波器的性能，其输入信号确定为0.5kHz与4kHz的正弦叠加信号，如下。

其理想的输出为0.5kHz正弦信号，实际输出为下。

其中，红色的----是Matlab计算的输出，粉色的o是用Ｃ语言计算的输出，蓝色的线是理想输出（也就是混合前的0.5kHz信号）。

         博客地址： http://blog.csdn.net/thnh169/  

            到此，我们就实现了一个IIR滤波器。