【数字几何处理】Smooth、remesh、subdivision

网格处理的一般流程：Scan-Reconstruct-Clean-Remesh，这次介绍的是Clean和Remesh

MeshSmoothing

使用uniform laplace operator（拉普拉斯平滑）：


2D形式，每个原始的点朝着邻接点中心方向移动，所有的点并行的进行操作，每个点的邻接点使用原始数据，也就是没有移动的数据。对于一系列闭合线段，它们最终会趋向一个点。

3D，原始点的移动方向为该点到邻接点中心的方向，和2D一样，对于一个闭合的网格比如球，它会最终趋向一个点，这就造成了一个问题，随着迭代次数不断增大，网格会变得越来越尖锐，如下


解决方法之二是：tangential projection，原来是向邻接点中心方向移动，现在我们调整一下策略，将邻接点中心c向原来p点切平面做投影，之后再向网格表面做投影。

还有一个问题就是，如果用平均权重的话，处理的结果和三角形的形状很有关系，就比如1D形式，虽然Pi+1离Pi很近，但是最终移动的方向却是Pi+1和Pi的中点，在这种形式下其实线段已经很光滑了，不需要再处理了。解决的方法就是使用一个更佳的权重：


新的权重用边ij组成的两个三角形圆心到边ij的距离比上边ij的长度代替，我们可以将其变换成cot形式：$W_{ij}=\frac{1}{2}(cot{\alpha }_{ij}+cot{\beta }_{ij})$

Remeshing

parameterization-based

首先映射到2D，再进行remesh，最后映射回去。

首先映射到2D，做三角剖分，最后映射回去（保持三角剖分后的连接关系）

首先计算给定点的Voronoi图（图中黑点），再向VoronoiCell的中心点Vi靠近，图中红色的点，知道满足要求，它的一个优点就是可以直接在表面上进行处理。

Surface-based

这个在CMU15462课程中有过介绍及代码实现。简要的算法步骤：
1.指定边长范围
2.对于短于Lmin的进行边收缩
3.对于长于Lmax的，进行边分裂
4.进行边反转，使其端点的度更接近6
5.根据拉普拉斯平滑移动顶点。
其中的Lmin和Lmax是通过下面的式子进行计算的：


问题：左图进行边收缩之后法线的方向发生了变化，而有图进行边收缩后il两点由两条边连接。

如果在进行边分裂时不首先分裂最长的边的话，那么边分裂会一直循环下去。

如果该边组成的两个三角形合起来不是凸包的话，那么边反转后的k点就会在三角形内。

Simplification

网格简化的一般步骤，把所有边放到一条优先级队列中，按他们的cost排列，当队列Q非空或未达到要求时，进行下面的操作：
1.从Q中选择cost最小的边
2.边收缩
3.更新cost

cost的计算有很多种，现在常用的就是Error quadric metric，这个在前面的博客中有过介绍及实现，就略过该部分。

Edge-length metric

可以看到两种不同的收缩策略造成的效果差距很大，我们需要一个好的cost函数来排除掉较坏的情况。上图是基于边长的度量，我们寻找一个与U点（边收缩的起始点）临界三角形差距最大的一个平面，根据它们的法线计算cost函数

Subdivision

后面的博客中介绍