快速傅里叶变换的相关定义、原理及其递归算法
快速傅里叶变换FFT是离散傅里叶变换DFT的一种快速算法，实际上诸如Matlab等科学计算软件都已经实现了FFT，只需调用相应的接口即可。在ACM里，FFT的典型应用就是大数的乘法或者多项式的乘法。顺便，如果题目规模不是很大，有关大数的运算推荐使用Java语言，使用java.math.BigInteger包完成；包括高精度运算，可以使用BigDecimal包完成。任何情况下，会一门外语总是很重要的！
傅里叶变换一般指的是连续傅里叶变换，其定义如下：
傅里叶逆变换的定义如下：
离散傅里叶变换与连续傅里叶变换“类似”，只不过把积分换成级数。DFT以及IDFT的定义式如下：
令源序列x={0, 1, 3}，则DFT的结果是X={4, exp(-i*2PI/3)+3exp(-i*4PI/4), exp(0i*4PI/3)+3exp(-i*8PI/3)} ；
另外一个例子， 若令源序列为x={2, 4}，则DFT的结果是X={6, -2}。
FFT和卷积关系密切，连续卷积和离散卷积的定义分别如下：
下面举一个简单的例子显示离散卷积的运算，令序列f={0,1,3}，序列g={2,4}，则其卷积的计算式如下：
所以，卷积的结果序列y={0, 2, 10, 12}
卷积可以使用DFT完成，本质上这也是大数乘法、多项式乘法可以使用DFT完成的原理。当然在完成时，首先要将源序列的长度补齐到合适的数值。使用DFT完成卷积或者多项式乘法时，序列长度应该是2的幂，显然又不能小于最终结果的长度。上例中结果长度为4，恰好是2的幂，所以源序列补到4长度即可。于是 f = {0, 1, 3, 0}，g = {2, 4, 0, 0}。NOTE：对大数乘法一定要注意结果长度的估算，本例如果表示大数乘法，则是一个3位数乘2位数，其结果最多是一个5位数，所以长度应补到8为佳。
f和g的DFT分别是
将其对应项相乘，得到
再对该序列做一个离散傅里叶逆变换，可以得到{0, 2, 10, 12}，与原始卷积的结果相同，在本质上这也是两个多项式乘法的结果。另一方面，如果考虑三位数310和两位数42的乘法，其结果是13020，与卷积的结果同样是吻合的。注意乘法运算需要考虑进位！
所以，给定多项式a、b，求其乘积c，可以这样实现：
- 将a、b高位补零到合适长度
- 对a、b分别作DFT得到Fa和Fb
- Fa、Fb对应项相乘得到Fc
- 对Fc做离散傅里叶逆变换IDFT即为结果c
很显然第3步为O(N)，所以关键在第2、4步。而DFT和IDFT按照定义做，同样为O(N*N)，没有任何改进。这个步骤之所以可行，就是因为存在FFT算法，可以达到O(NlogN)。
为了方便书写，令WN=exp(-i*2PI/N)，其中N是下标，而WN称之为单位复根。数学习惯上应该用希腊字母Ω的小写来表示单位复根。 单位复根有以下性质：
- WN^k = WN^(k+N)。很显然，因为WN的N次方就是1，这个其实是周期性
- WN^k = - WN^(k+N/2), 当N为偶数时。这也很显然，因为WN的N/2次方就是-1，这是对称性。
- WN^k = W(N/2)^(k/2)，当N、k均为偶数。这个根据定义很容易推算，右边实际就是exp(-i*2PI/(N/2))^(k/2)，显然等于左边
考虑一个8点DFT，其原始公式是：
将其奇偶项分开书写，可写成：
将奇数项提取出一个公因子，可写成（注意下标n的变化）：
注意到单位复根的脚标是8，为偶数，根据单位复根的性质3，可以做一个比例变换，得到：
于是再对求和符号的下标n做一个变换，得到：
接下来，按照k值，将上式写成2个部分：
注意上式中的第1个式子，该式的前后两个部分都是一个4点序列的DFT，所以该式实际上就是2个4点DFT之和。至于第2个式子，首先变化k将其改写为：
然后考虑到单位复根的性质1和性质2，上式可以改写为：
所以最终一个8点DFT变为了：
该式表明一个8点DFT转为了2个4点DFT，8点DFT的结果中的前4项是这两个4点DFT之和（带一个单位复根的因子），而后4项是其差。递归下去，4点DFT可以变为2个2点DFT，而2点DFT变为2个1点DFT，最后1点DFT就是其本身。
所以，基于此原理，FFT的递归算法非常容易实现：
当然这个递归算法完全是纯按原理实现的，考虑到程序实现，有好几个可以优化的地方。例如红色部分，完全可以进行优化，提高代码执行效率。