多元函数——可微性
文章目录
- 全增量和全微分
- 偏导数
- 可微的必要条件
- 可微的充分条件
- 证明
- 定理17.3
- 可微，连续，偏导数之间的关系
- 定理17.4
- 计算近似值
全增量和全微分
- z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)的某领域 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0)有定义
- 对 U ( P 0 ) U(P_0) U(P0)中的点 P ( x , y ) = ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) P(x,y)=(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y) P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),在 P 0 P_0 P0处的全增量可表示为 △ z = f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \triangle z=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0) △z=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0) = A △ x + B △ y + o ( ρ ) (1) =A\triangle x+B\triangle y+o(\rho)\tag{1} =A△x+B△y+o(ρ)(1) A , B A,B A,B仅与点 P 0 P_0 P0有关， o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)是较 ρ \rho ρ高阶的无穷小量
- 则称 f f f在 P 0 P_0 P0处可微，并称 A △ x + B △ y A\triangle x+B\triangle y A△x+B△y是 f f f在 P 0 P_0 P0的全微分，记作 d z ∣ P 0 = d f ( x 0 , y 0 ) dz|_{P_0}=df(x_0,y_0) dz∣P0=df(x0,y0) = A △ x + B △ y =A\triangle x+B\triangle y =A△x+B△y有 △ z = d z + o ( ρ ) \triangle z=dz+o(\rho) △z=dz+o(ρ)
- 也可以把(1)式写成： △ z = A △ x + B △ y + α △ x + β △ y (2) \triangle z=A\triangle x+B\triangle y+\alpha\triangle x+\beta\triangle y\tag{2} △z=A△x+B△y+α△x+β△y(2)其中 lim ( △ x , △ y ) → ( 0 , 0 ) α = lim ( △ x , △ y ) → ( 0 , 0 ) β = 0 \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0)}\alpha=\lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to(0,0)}\beta=0 (△x,△y)→(0,0)limα=(△x,△y)→(0,0)limβ=0
- 当 △ x , △ y → 0 \triangle x,\triangle y\to0 △x,△y→0时，也有 f ( x , y ) ≈ f ( x 0 , y 0 ) + A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+A(x-x_0)+B(y-y_0) f(x,y)≈f(x0,y0)+A(x−x0)+B(y−y0)判断函数在某点是否可微，一个方法是看 lim x → x 0 , y → y 0 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) − A ( x − x 0 ) − B ( y − y 0 ) ρ \lim\limits_{x\to x_0,y\to y_0}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-A(x-x_0)-B(y-y_0)}{\rho} x→x0,y→y0limρf(x,y)−f(x0,y0)−A(x−x0)−B(y−y0)是否为0，若为0，则可微，这里的A,B其实是 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)和 f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) fy(x0,y0)
偏导数
- z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D , ( x 0 , y 0 ) ∈ D z=f(x,y),(x,y)\in D,(x_0,y_0)\in D z=f(x,y),(x,y)∈D,(x0,y0)∈D, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 x 0 x_0 x0的某领域有定义
- 当极限 lim △ x → 0 △ x f ( x 0 , y 0 ) △ x \lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac{\triangle_xf(x_0,y_0)}{\triangle x} △x→0lim△x△xf(x0,y0) = lim △ x → 0 f ( x 0 + △ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) △ x =\lim\limits_{\triangle x\to 0}\frac{f(x_0+\triangle x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\triangle x} =△x→0lim△xf(x0+△x,y0)−f(x0,y0)存在，称该极限为 f f f在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处关于x的偏导数
- △ x f ( x 0 , y 0 ) △ x \frac{\triangle_xf(x_0,y_0)}{\triangle x} △x△xf(x0,y0)的由来，只需令 △ y = 0 \triangle y=0 △y=0 △ x z = A △ x + α △ x \triangle_xz=A\triangle x+\alpha\triangle x △xz=A△x+α△x SO， △ x z △ x = A + α \frac{\triangle_xz}{\triangle x}=A+\alpha △x△xz=A+α
- 注意！若 f 在 ( x 0 , y 0 ) f在(x_0,y_0) f在(x0,y0)处存在关于 x ( 或 y ) x(或y) x(或y)的偏导数，那么 f f f至少在 { ( x , y ) ∣ y = y 0 , ∣ x − x 0 ∣ < δ } \{(x,y)|y=y_0,|x-x_0|<\delta\} {(x,y)∣y=y0,∣x−x0∣<δ}上有定义
可微的必要条件
- f f f在定义域内一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微
- ⇒ f \Rightarrow f ⇒f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 A = f x ( x 0 , y 0 ) , B = f y ( x 0 , y 0 ) A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0) A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0)
- 由于自变量的增量=自变量的微分，即 d x = △ x , d y = △ y dx=\triangle x,dy=\triangle y dx=△x,dy=△y d z = f x ( x 0 , y 0 ) d x + f y ( x 0 , y 0 ) d y dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy
可微的充分条件
- f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)某领域的偏导数存在
- f x , f y f_x,f_y fx,fy在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续
- ⇒ f \Rightarrow f ⇒f在该点可微
- 也称 f f f在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续可微
证明
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△ z = f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \triangle z=f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0) △z=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0) = [ f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 + △ y ) ] =[f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0+\triangle y)] =[f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0+△y)] + [ f ( x 0 , y 0 + △ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] +[f(x_0,y_0+\triangle y)-f(x_0,y_0)] +[f(x0,y0+△y)−f(x0,y0)]对上面两项分别应用拉式中值定理 = f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) △ x + f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) △ y =f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)\triangle x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)\triangle y =fx(x0+θ1△x,y0+△y)△x+fy(x0,y0+θ2△y)△y θ 1 , θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1,\theta_2\in(0,1) θ1,θ2∈(0,1)
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书上这里用的理由是：由于 f x , f y f_x,f_y fx,fy连续，于是有 f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) + α f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha fx(x0+θ1△x,y0+△y)=fx(x0,y0)+α f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) + β f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)=f_y(x_0,y_0)+\beta fy(x0,y0+θ2△y)=fy(x0,y0)+β 由于 ( △ x , △ y ) → 0 时 ， α , β → 0 (\triangle x,\triangle y)\to0时，\alpha,\beta\to 0 (△x,△y)→0时，α,β→0 所以就有 △ z = f x ( x 0 , y 0 ) △ x + f y ( x 0 , y 0 ) △ y \triangle z=f_x(x_0,y_0)\triangle x+f_y(x_0,y_0)\triangle y △z=fx(x0,y0)△x+fy(x0,y0)△y + α △ x + β △ y +\alpha\triangle x+\beta\triangle y +α△x+β△y于是 f f f在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微
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由于 f x , f y f_x,f_y fx,fy连续，其实直接就有 lim ( △ x , △ y ) → 0 f x ( x 0 + θ 1 △ x , y 0 + △ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to0}f_x(x_0+\theta_1\triangle x,y_0+\triangle y)=f_x(x_0,y_0) (△x,△y)→0limfx(x0+θ1△x,y0+△y)=fx(x0,y0) lim ( △ x , △ y ) → 0 f y ( x 0 , y 0 + θ 2 △ y ) = f y ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(\triangle x,\triangle y)\to0}f_y(x_0,y_0+\theta_2\triangle y)=f_y(x_0,y_0) (△x,△y)→0limfy(x0,y0+θ2△y)=fy(x0,y0)但是这样就得不到可微的标准形式
定理17.3
- f f f在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某邻域D上存在偏导数
- ( x , y ) ∈ D (x,y)\in D (x,y)∈D
- 则存在 ξ = x 0 + θ 1 ( x − x 0 ) \xi=x_0+\theta_1(x-x_0) ξ=x0+θ1(x−x0), η = y 0 + θ 2 ( y − y 0 ) ( 0 < θ 1 , θ 2 < 1 ) \eta=y_0+\theta_2(y-y_0)(0<\theta_1,\theta_2<1) η=y0+θ2(y−y0)(0<θ1,θ2<1)
- 使得 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x,y)-f(x_0,y_0) f(x,y)−f(x0,y0) = f x ( ξ , y ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , η ) ( y − y 0 ) =f_x(\xi,y)(x-x_0)+f_y(x_0,\eta)(y-y_0) =fx(ξ,y)(x−x0)+fy(x0,η)(y−y0)
可微，连续，偏导数之间的关系
- 函数在某点可微，必在该点连续
- 在某点连续，偏导数不一定存在，更别说可微了
- 在某点存在对所有自变量的偏导数 ，也不能推出 f f f在该点连续，也不一定可微
- 偏导数只描述了函数沿 x , y x,y x,y轴方向额变化特征，只能说明 f f f在某点分别对 x 或 y x或y x或y连续
定理17.4
曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)存在不平行 于 z z z轴的切平面的充要条件是 f 在 P ( x 0 , y 0 ) 处 可 微 f在P(x_0,y_0)处可微 f在P(x0,y0)处可微
- 若函数 f f f在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微
- f f f在该点的切平面方程为 z − z 0 = f x ( x 0 , y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)
- 过切点与切平面垂直的法线方程为 x − x 0 f x ( x 0 , y 0 ) = y − y 0 f y ( x 0 , y 0 ) = z − z 0 − 1 \frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1} fx(x0,y0)x−x0=fy(x0,y0)y−y0=−1z−z0
计算近似值
- 对于函数 z = f ( x , y , z ) z=f(x,y,z) z=f(x,y,z)，给定点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0),变化值为 △ x , △ y , △ z \triangle x,\triangle y,\triangle z △x,△y,△z
- 则 f ( x 0 + △ x , y 0 + △ y , z 0 + △ z ) f(x_0+\triangle x,y_0+\triangle y,z_0+\triangle z) f(x0+△x,y0+△y,z0+△z) ≈ f ( x 0 , y 0 , z 0 ) + f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ x \approx f(x_0,y_0,z_0)+f_x(x_0,y_0,z_0)\triangle x ≈f(x0,y0,z0)+fx(x0,y0,z0)△x + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ y + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) △ z +f_y(x_0,y_0,z_0)\triangle y+f_z(x_0,y_0,z_0)\triangle z +fy(x0,y0,z0)△y+fz(x0,y0,z0)△z