关于动态规划01背包问题的一些心得体会

《算法笔记》动态规划之01背包问题状态转移方程的代码为：

for(int i = 1; i <= n; i++){	//n件物品
	for(int j = w[i]; j <= c; j++){	//每件物品的重量为w[i]， 价值为v[i], 背包最大容量为c
		dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i];
	}
}	 

搜索CSDN大佬博客得出的代码为：

for(int i = 1; i <= n; i++){
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			if(j < w[i]){	//如果当前背包容量不足以装下第i件物品
				dp[i][j] = dp[i-1][j];	//只能选择不装
			}else{	//如果当前背包容量足以装下第i件物品
				//但由于装第i件物品不一定使得价值最大，所以考虑装与不装第i件物品所能得到的最大价值
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	}

个人更倾向于第二种代码，对于第一种代码的正确性存在疑问。
原因是第一种代码的内层循环，j从w[i]开始取值，这样在填表dp[i][j]的时候会漏填部分表格导致中间部分dp[i][j]的结果错误。
举个例子，假设现在有6件商品，背包容量最大为12
商品的重量为：w[i] = {4, 6, 2, 2, 5, 1}
商品的价值为：v[i] = {8, 10, 6, 3, 7, 2}
分别用两种代码填写dp数组，打印两个表格。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 100;
int main(){
	int v[maxn], w[maxn], dp[maxn][maxn] = {0};
	int n, c;
	cin >> n >> c;
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//输入价值数组
		cin >> v[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//输入重量数组
		cin >> w[i];
	}
	for(int i = 1; i <=n; i++){		//第一种代码
		for(int j = w[i]; j <= c; j++){
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//打印dp数组
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			cout << dp[i][j];
			if(j < c)	cout << "\t";
			else	cout << endl;
		}
	}
	return 0;
}

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 100;
int main(){
	int v[maxn], w[maxn], dp[maxn][maxn] = {0};
	int n, c;
	cin >> n >> c;
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//输入价值数组
		cin >> v[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//输入重量数组
		cin >> w[i];
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//第二种代码
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			if(j < w[i]){
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			}else{
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){	//打印dp数组
		for(int j = 1; j <= c; j++){
			cout << dp[i][j];
			if(j < c)	cout << "\t";
			else	cout << endl;
		}
	}
	return 0;
}

两种方法打印出来的数组分别如下：
第一种：

第二种：

可以看到，虽然两种方法最优解都是24，但中间部分dp[i][j]有了很大的出入。第二种的dp数组才是正确的。