【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】

在上一篇连载里面知道了如何计算线电流在周围产生的磁场，那么，如果电流的分布不是线，而是体分布或者是面分布，那怎么办呢？这里我们将引入体电流密度和线电流密度。

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我们先画一个连载的功夫弄明白什么是电流密度，因为这个概念在磁场以及后续电生磁中将会经常用到。

首先，我们看看在电路理论里面关于电流的定义—— 电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。

我们知道：导体中可以传导电流，那么后面我们先以导体为例。那么导体又可以有很多形态了 —— 比如说：体、面和线。 如下图所示：

那么，我刚刚不是说——电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。那么，体形态的导体，其横截面就是一个面、面形态的导体其横截面就是一条线；而线形态的导体其横截面就是一个点。

而我们再看看电流密度的概念：电流密度矢量是垂直于电流方向的单位横截部分上穿过的电流。这里我们再把概念拆解一下—— 电流可能流于体导体、面导体和线导体；那么对应的横截面就是：面、线和点；那么单位横截部分就对应着：单位面、单位线距离和一个点。

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既然有了这样的理解，那么下面我们先以体电流为例子：

这个上面那个体形态的导体的横截面。下面看一下立体图：

因为横截面是一个面，那么我们可以取一个小的面积元 $△S$，当这个微元面积趋于0时，那么也就相当于趋近一个点了。那么到底有多少电流从导体内部穿出了这个微元面呢？—— 这又是通量的概念了！

对于体形态的导体而言，电流密度准确的说应该是体电流密度。体电流密度的大小是垂直于 $\bar{J}$ 的单位面积上穿过的电流。那么穿过面积为 $△S$ 的电流数就应该是：

其中，$\overline{dS}=\bar{n}\cdot dS$，$\bar{n}$ 是那个小面积的单位法向。那么很自然地，这个横截面 S 上的总电流就可以写成：

那么，既然电流是运动电荷而产生的，那么体电流也必然可以用运动电荷来描述：

这个圆柱是我在上面那个体型导体里面取出来的一个小的微元体积。那么在单位时间内穿过这个微元的电荷的数目就是：$$dq={\rho }_{v}vdtdS$$
那么很自然，$$dI=\frac{dq}{dt}={\rho }_{v}vdS$$

因为对于体电流密度而言，是衡量穿过垂直于电流方向的单位面积的电流。故：$$J=\frac{dI}{dS}={\rho }_{v}v$$
那么矢量形式就是：$\bar{J}={\rho }_v\bar{v}$

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搞明白了体电流密度，下面我们来看面电流密度
有了体电流密度的概念，面电流密度也很好理解了—— 所谓面电流，就是电流是在一个厚度可以忽略不记的导体面上流动的，那么这个导体的横截部分就是上图中的黄色部分——是一根线！

而面电流密度，就是在这条线上，单位长度内流过的电流。

那么，在这个黄线上一小段线微元 $dl$ 内通过的电流就可以表示为：$$dI=\overline{J_s}\cdot \overline{dl}$$
那么总的面电流就可以用线积分表示：
$$I={\int }_l\overline{J_s}\cdot \overline{dl}$$

同理，我们也可以用运动电荷的思路计算面电流：$$\begin{gathered} J_s={\rho }_{vs}\cdot v \\ \overline{J_s}={\rho }_{vs}\cdot \bar{v} \end{gathered}$$
其中，${\rho }_{vs}$表示运动电荷的面密度。

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至于线电流，因为他的横截部分就是一个点了，那么是没有对应的所谓 “线电流密度” 的。我们就只能通过运动电荷的观点来计算线电流，即：$$I={\rho }_{vl}\cdot v$$

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好啦！了解了体电流密度和面电流密度之后，理论上我们就可以利用比奥-萨法尔定理计算任意分布的磁场了：

但是大家注意到了吗 —— 这样的计算都涉及到了积分运算，颇为复杂，那么有没有更加简便的方法计算磁场呢？那么在下一个连载里面，我们就详细地介绍安培环路定理。