【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】

在上一篇连载里面知道了如何计算线电流在周围产生的磁场,那么,如果电流的分布不是线,而是体分布或者是面分布,那怎么办呢?这里我们将引入体电流密度和线电流密度


我们先画一个连载的功夫弄明白什么是电流密度,因为这个概念在磁场以及后续电生磁中将会经常用到。

首先,我们看看在电路理论里面关于电流的定义—— 电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。

我们知道:导体中可以传导电流,那么后面我们先以导体为例。那么导体又可以有很多形态了 —— 比如说:体、面和线。 如下图所示:
【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第1张图片
那么,我刚刚不是说——电流是单位时间内通过某一横截面积的电量。那么,体形态的导体,其横截面就是一个面、面形态的导体其横截面就是一条线;而线形态的导体其横截面就是一个点。

而我们再看看电流密度的概念:电流密度矢量是垂直于电流方向的单位横截部分上穿过的电流。这里我们再把概念拆解一下—— 电流可能流于体导体、面导体和线导体;那么对应的横截面就是:面、线和点;那么单位横截部分就对应着:单位面、单位线距离和一个点


既然有了这样的理解,那么下面我们先以体电流为例子:

【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第2张图片
这个上面那个体形态的导体的横截面。下面看一下立体图:

【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第3张图片
因为横截面是一个面,那么我们可以取一个小的面积元 △ S △S S,当这个微元面积趋于0时,那么也就相当于趋近一个点了。那么到底有多少电流从导体内部穿出了这个微元面呢?—— 这又是通量的概念了!

对于体形态的导体而言,电流密度准确的说应该是体电流密度体电流密度的大小是垂直于 J ˉ \bar{J} Jˉ 的单位面积上穿过的电流。那么穿过面积为 △ S △S S 的电流数就应该是:
在这里插入图片描述
其中, d S ˉ = n ˉ ⋅ d S \bar{dS} = \bar{n} \sdot dS dSˉ=nˉdS n ˉ \bar{n} nˉ 是那个小面积的单位法向。那么很自然地,这个横截面 S 上的总电流就可以写成:
在这里插入图片描述
那么,既然电流是运动电荷而产生的,那么体电流也必然可以用运动电荷来描述:

【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第4张图片
这个圆柱是我在上面那个体型导体里面取出来的一个小的微元体积。那么在单位时间内穿过这个微元的电荷的数目就是: d q = ρ v v d t d S dq = ρ_vvdtdS dq=ρvvdtdS
那么很自然, d I = d q d t = ρ v v d S dI = \frac{dq}{dt} = ρ_vvdS dI=dtdq=ρvvdS

因为对于体电流密度而言,是衡量穿过垂直于电流方向的单位面积的电流。故: J = d I d S = ρ v v J = \frac{dI}{dS} = ρ_vv J=dSdI=ρvv
那么矢量形式就是: J ˉ = ρ v v ˉ \bar{J} = ρ_v\bar{v} Jˉ=ρvvˉ


搞明白了体电流密度,下面我们来看面电流密度
【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第5张图片有了体电流密度的概念,面电流密度也很好理解了—— 所谓面电流,就是电流是在一个厚度可以忽略不记的导体面上流动的,那么这个导体的横截部分就是上图中的黄色部分——是一根线!

而面电流密度,就是在这条线上,单位长度内流过的电流。

那么,在这个黄线上一小段线微元 d l dl dl 内通过的电流就可以表示为: d I = J s ˉ ⋅ d l ˉ dI = \bar{J_{s}} \sdot \bar{dl} dI=Jsˉdlˉ
那么总的面电流就可以用线积分表示:
I = ∫ l J s ˉ ⋅ d l ˉ I = \int_l \bar{J_s} \sdot \bar{dl} I=lJsˉdlˉ

同理,我们也可以用运动电荷的思路计算面电流: J s = ρ v s ⋅ v J s ˉ = ρ v s ⋅ v ˉ J_s = ρ_{vs} \sdot v\\ \quad\\ \bar{J_s} = ρ_{vs} \sdot \bar{v} Js=ρvsvJsˉ=ρvsvˉ
其中, ρ v s ρ_{vs} ρvs表示运动电荷的面密度。


至于线电流,因为他的横截部分就是一个点了,那么是没有对应的所谓 “线电流密度” 的。我们就只能通过运动电荷的观点来计算线电流,即: I = ρ v l ⋅ v I = ρ_{vl} \sdot v I=ρvlv


好啦!了解了体电流密度和面电流密度之后,理论上我们就可以利用比奥-萨法尔定理计算任意分布的磁场了:
【你也能看得懂的电磁场与电磁场系列连载 11】_第6张图片

但是大家注意到了吗 —— 这样的计算都涉及到了积分运算,颇为复杂,那么有没有更加简便的方法计算磁场呢?那么在下一个连载里面,我们就详细地介绍安培环路定理

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