解题笔记（39）——过河问题

      问题描述：在漆黑的夜里，N位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，N个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，N人所需要的时间已知；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这N人尽快过桥。假设N <= 1000。

      思路：假设N个旅行者的过桥时间分别为（已排序）{T1, T2, T3, T4 ... Tn}，N个旅行者过桥的最快时间为sum。 从简单入手，如果N = 1, sum = T1；如果N = 2,  sum = max(T1, T2)；如果N = 3, sum = T1+T2+T3。如果N > 3，考虑最慢和次慢两个人的过桥方法。共有两种方案。

     第一种，最快和次快的人先过去（用时T[1]），然后最快的人回来（用时T[0]），接着最慢和次慢的人过去（用时T[n-1]），最后次快的人回来（用时T[1]）。整理后为T[0] + T[1] + T[1] + T[n-1]。

     第二种，最快和最慢的过去（用时T[n-1]），然后最快的回来（用时T[0]），接着最快和次慢的人过去（用时T[n-2]），最后次快的人回来（用时T[0]）。整理后为T[0] + T[0] + T[n-1] + T[n-2]。

     选用时少的方案，这样旅行者的数量减少了两个，递归求解即可。下面给出代码。

     参考代码：

//函数功能: 过河问题递归求解
//函数参数: T为旅行者的过河时间，n为旅行者个数
//返回值:   最快过河时间
int CrossRiver(int *T, int n)
{
	if(n == 2)       //剩两个人
		return T[1];
	else if(n == 3)  //剩三个人
		return T[0] + T[1] + T[2];
	else
	{
		int t1 = T[0] + T[1] + T[1] + T[n-1];   //方案1
		int t2 = T[0] + T[0] + T[n-1] + T[n-2]; //方案2
		int t = t1 > t2 ? t2 : t1;

		return CrossRiver(T, n - 2) + t;
	}
}
//函数功能: 过河问题
//函数参数: T为旅行者的过河时间，n为旅行者个数
//返回值:   最快过河时间
int CrossRiverProblem(int *T, int n)
{
	if(n == 1)         //一个旅行者
		return T[0];   
	else if(n == 2)    //两个旅行者
		return T[0] > T[1] ? T[0]: T[1];
	else               //多个，递归求解
	{
		sort(T, T + n);//排个序
		return CrossRiver(T, n);
	}
}

       下面给出非递归解法，效率会高一点。

//函数功能: 过河问题
//函数参数: T为旅行者的过河时间，n为旅行者个数
//返回值:   最快过河时间
int CrossRiverProblem(int *T, int n)
{
	if(n == 1)         //一个旅行者
		return T[0];   
	else if(n == 2)    //两个旅行者
		return T[0] > T[1] ? T[0]: T[1];
	else               //多个
	{
		sort(T, T + n);//排个序
		int sum = 0;
	
		while(1)
		{
			if(n == 2)      //剩两个人
			{
				sum += T[1];
				break;
			}
			else if(n == 3) //剩三个人
			{
				sum += T[0] + T[1] + T[2];
				break;
			}
			else
			{
				int t1 = T[0] + T[1] + T[1] + T[n-1];   //方案1
				int t2 = T[0] + T[0] + T[n-1] + T[n-2]; //方案2
				sum += (t1 > t2 ? t2 : t1);
				n -= 2;
			}
		}
		return sum;
	}
}

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