几何光学（一）：对于费马原理的一些简单理解

费马原理对光线作了如下解释：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。

数学形式即为：

这里的

为变分符号，n(s)为介质的折射率。

这里尝试对这个公式进行一些解释：

首先对泛函进行解释，泛函（我的理解）是指将满足一定条件的一系列函数，通过某种具有能够将在数域[a,b]上有定义的函数转换为一个数字的特征的运算，例如求函数最大值，求平均值，求定积分等，这样就完成了函数（向量空间）到数域的映射。泛函即为函数的函数。

变分即为求某泛函的极值，类比成正常函数类似于求函数的微分，具体实现方式为给函数加上一个微小的增量函数。还是微积分微小增量那一套，照样理解即可。因为有了微小增量，所以就可以泰勒展开，所以就有一阶变分，二阶变分等。费马原理即为一阶变分为零，泛函取极值，类比一下即为一阶导数为零，函数取极值。

对于费马原理，

假设求A到B之间的光路，并设AB之间的处处折射率n均为已知，s为路径，t为时间，对于一条光路，运动方程为y=f（x）,即为待求泛函。

又已知在光传播的路径上，折射率n为s的函数，记作n(s)。

并且知光程

所以

所以A到B的光程即为

所以变分

其中n(s)满足F(x,y(x),y’(x))的形式，因此可以使用Euler-Lagrange定理求解（E-L定理即是描述变分等于零时的函数），得到运动方程f(x)。（具体计算过程见下图，我懒的打）。

这里有几点，首先光路函数并不要求处处可导，对于满足lipschiz条件（有界）或者piecewise函数（有限个折点）均可求变分。

对于均匀介质，通过求解费马原理可以得到光路为直线。（求解过程见下图，我懒的打+1）

对于非均匀介质，情况复杂，在此暂不讨论。

这里提出一个问题，对于空间中的一个光源s，以及多面反射镜Fi，光可以通过多道非等光程长的光路到达点A，请问是否违反费马原理。

答案是否定的（个人见解，如反对请指出），因为对于每一个反射镜，A点的位置都是不一样的，A对于光路来说，是位于反射镜中虚像的位置，而不是A实际的位置。因此光程长可以不一样。

这个问题会在之后对于漫反射的讨论中再次出现。

这里值得注意的是最后的方程中并没有t，也就是说光的路径并不依赖时间，换句话说，就是光在走之前已经知道了路径，而且无论介质是否均匀。这是一种对未来的预测，属于量子力学的范畴，在此不做讨论。顺便一提费曼对这个问题给出了一个很漂亮的解释。

附图