三种有序表的查找算法

有序表查找算法简介

查找的是一个有序线性表，并进行查找操作的查找表

排序算法种类

按照算法复杂程度分类
这里主要以二分查找，插值查找，斐波那契查找为例子

二分查找

折半查找（Binary Search）技术，又称为二分查找。它的前提是线性表中的记录必须是关键码有序（通常从小到大有序），线性表必须采用顺序存储。折半查找的基本思想是：在有序表中，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功；若给定值小于中间记录的关键字，则在中间记录的左半区继续查找；若给定值大于中间记录的关键字，则在中间记录的右半区继续查找。

• 中心思想：有序取中，比较左右，折半查找。

算法

1  int Binary_Search(int *a,int n,int key)
2  {
3      int low,high,mid;
4      int low=1;
5      int high=n;
6      while(low<=high)
7     {
8          mid=(low+high)/2; 
9          if(key<a[mid])
10            high=mid-1; 
11         else if (key>a[mid])
12            1ow=mid+1; 
13         else 
14            return mid;
15    }
16 }

时间复杂度

具有n个结点的完全二又树的深度为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$。在这里尽管折半查找判定二叉树并不是完全二叉树，但同样相同的推导可以得出，最坏情况是查找到关键字或查找失败的次数为$\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$。

插值查找

插值查找（Interpolation Search）是根据要查找的关键字key与查找表中最大最小记录的关键字比较后的查找方法，其核心就在于插值的计算公式$\frac{key-a\left[low\right]}{a\left[high\right]-a\left[low\right]}$。

• 中心思想：插值公式

算法

1  int Interpolation_Search(int *a,int n,int key)
2  {
3      int low,high,mid;
4      int low=1;
5      int high=n;
6      while(low<=high)
7     {
8          mid=low+(high-1ow)*(key-a[low])/(a[highl-a[low]);/*插值改动处*/
9          if(key<a[mid])
10            high=mid-1; 
11         else if (key>a[mid])
12            1ow=mid+1; 
13         else 
14            return mid;
15    }
16 }

时间复杂度

时间复杂度：O(logn)

斐波那契查找

斐波那契查找（Fibonaci Search），它是利用了黄金分割原理来实现的。

• 中心思想：将线性表都成斐波那契数列，然后后黄金分割取上下限

算法

1  int Fibonacci_Search(int *a,int n,int key)
2  {
3       int low,high,mid,i,k;
4   	low=1;
5	    high=n;
6   	k=0;
7   	while(n>F[k]-1)
8   	   k++;
9   	for(i=n;i<=f[k]-1;i++)
10   	   a[i]=a[n];
11   	while(low<=high)
12   	{
13   		mid=low+f[k-1]-1;
14   		if(key<a[mid])
15   		{
16   			high=mid-1;
17   			k=k-1;
18   		}
19   		else if(key>a[mid])
20   		{
21   			low=mid+1;
22   			k=k-2;
23   		}
24   		else
25   		{
26   			if(mid<=n)
27   			   return mid;
28   			else 
29  			   return n;
30   		}
31   	}
32   	return 0;
33   } 

时间复杂度

尽管斐波那契查找的时间复杂也O(logn)，但就平均性能来说，斐波那契查找要优于折半查找。可惜如果是最坏情况，比如这里key=1，那么始终都处于左侧长半区在查找，则查找效率要低于折半查找。

总结

1. 应该说，三种有序表的查找本质上是分隔点的选择不同，各有优劣，实际开发时可根据数据的特点综合考虑再做出选择。
2. 未知的数据首先考虑二分查找
3. 均匀的数据适合插值查找
4. 如果要查找的记录在右侧，则左侧的数据都不用再判断了，不断反复进行下去，对处于当中的大部分数据，斐波那契查找工作效率要高一些。

参考文献

[[1]] 程杰. 大话数据结构[M]. 清华大学出版社, 2011.
[[2]] 啊哈磊. 啊哈! 算法[M]. 人民邮电出版社, 2014.