PKUSC2018数学试题题解（持续更新）

试题如下：

题解（由于楼主数学水平有限目前只做出了这6道题）：

第一题：
bc(b+c)+ac(c−a)−ab(a+b) b c ( b + c ) + a c ( c − a ) − a b ( a + b )
=b2c+bc2−a2b−ab2+ac(c−a) = b 2 c + b c 2 − a 2 b − a b 2 + a c ( c − a )
=b2(c−a)+(bc+ba)(c−a)+ac(c−a) = b 2 ( c − a ) + ( b c + b a ) ( c − a ) + a c ( c − a )
=(c−a)(b2+bc+ba+ac) = ( c − a ) ( b 2 + b c + b a + a c )
=(a+b)(b+c)(c−a) = ( a + b ) ( b + c ) ( c − a )

第二题（反证法）：
由已知： ∑1≤ i<j≤ naiaj=1 ∑ 1 ≤   i < j ≤   n a i a j = 1 ，令 S=∑1≤ i≤ nai S = ∑ 1 ≤   i ≤   n a i ，
假设不存在这种删数方案，那么 ∀i∈n，S−ai>2–√ ∀ i ∈ n ， S − a i > 2
则 (S−ai)ai>2–√ai,∑(S−ai)ai>2–√∑ai ( S − a i ) a i > 2 a i , ∑ ( S − a i ) a i > 2 ∑ a i
2∑aiaj>2–√S,S<2–√ 2 ∑ a i a j > 2 S , S < 2
所以假设不成立，得证。

第三题：
(1+i1−i)n=((1+i)2(1−i)(1+i))n=in=1 ( 1 + i 1 − i ) n = ( ( 1 + i ) 2 ( 1 − i ) ( 1 + i ) ) n = i n = 1
所以最小正整数 n=4 n = 4

第四题（数学归纳法）：
(1) ( 1 ) 当 n=1 n = 1 时，显然
(2) ( 2 ) 假设当 n=k n = k 时结论成立,则从其中第 m m 个加油站出发,汽车可以绕长为 S1 S 1 的公路一周（环化直）
那么当 n=k+1 n = k + 1 时,添加汽油，则公路也因此延长了 S=S2−S1 S = S 2 − S 1 的长度,新的汽油刚好可供汽车行驶距离 S S
不妨将第 k+1 k + 1 个站放在原来第 m m 个站的前面且与它的距离为 S S ，
那么汽车从第 k+1 k + 1 个站加油并出发，向第 m m 个站开去，则刚好能到达第 m m 个站。
由 (1) ( 1 ) 可知汽车可以走完长度为 S1 S 1 的公路，则原问题化为：汽车可以绕长为 S2 S 2 的公路一周。
于是当 n=k+1 n = k + 1 时结论也成立。
由 (1) ( 1 ) 和 (2) ( 2 ) ,可知结论对任意正整数 n n 都成立,得证。

第七题：
令 α=arctan(15)，β=arctan(1239) α = a r c t a n ( 1 5 ) ， β = a r c t a n ( 1 239 )
tan2α=2tanα1−tan2α=512，tan4α=2tan2α1−tan22α=120119 t a n 2 α = 2 t a n α 1 − t a n 2 α = 5 12 ， t a n 4 α = 2 t a n 2 α 1 − t a n 2 2 α = 120 119
tan(4α−β)=tan4α−tanβ1+tan4αtanβ=1 t a n ( 4 α − β ) = t a n 4 α − t a n β 1 + t a n 4 α t a n β = 1
4arctan15−arctan1239=π4 4 a r c t a n 1 5 − a r c t a n 1 239 = π 4

第八题（平面几何）:
S=(S1−−√2+S2−−√2+S3−−√2) S = ( S 1 2 + S 2 2 + S 3 2 )