动态规划--最长递增子序列

      已知一个序列 {S1, S2,...,Sn} ，取出若干数组成新的序列 {Si1, Si2,..., Sim}，其中 i1、i2 ... im 保持递增，即新序列中各个数仍然保持原数列中的先后顺序，称新序列为原序列的一个 子序列 。

      如果在子序列中，当下标 ix > iy 时，Six > Siy，称子序列为原序列的一个 递增子序列 。

定义一个数组 dp 存储最长递增子序列的长度，dp[n] 表示以 Sn 结尾的序列的最长递增子序列长度。对于一个递增子序列 {Si1, Si2,...,Sim}，如果 im < n 并且 Sim < Sn ，此时 {Si1, Si2,..., Sim, Sn} 为一个递增子序列，递增子序列的长度增加 1。满足上述条件的递增子序列中，长度最长的那个递增子序列就是要找的，在长度最长的递增子序列上加上 Sn 就构成了以 Sn 为结尾的最长递增子序列。因此 dp[n] = max{ dp[i]+1 | Si < Sn && i < n} 。

因为在求 dp[n] 时可能无法找到一个满足条件的递增子序列，此时 {Sn} 就构成了递增子序列，因此需要对前面的求解方程做修改，令 dp[n] 最小为 1，即：

                                         ​

 

对于一个长度为 N 的序列，最长子序列并不一定会以 Sn 为结尾，因此 dp[N] 不是序列的最长递增子序列的长度，需要遍历 dp 数组找出最大值才是所要的结果，即 max{ dp[i] | 1 <= i <= N} 即为所求。

Leetcode : 300. Longest Increasing Subsequence

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] dp = new int[n];
    for(int i = 0; i < n; i++){
        int max = 1;
        for(int j = 0; j < i; j++){
            if(nums[i] > nums[j]) max = Math.max(max, dp[j] + 1);
        }
        dp[i] = max;
    }
    int ret = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        ret = Math.max(ret, dp[i]);
    }
    return ret;
}