Diffie-Hellman密钥交换算法的原理及程序演示

在http://en.wikipedia.org/wiki/Diffie-Hellman上面给出了这个密钥交换协议的历史，原理，重要文献的链接，以及演示代码。它的数学基础就是离散对数这个数学难题。用它进行密钥交换的过程简述如下：
选取两个大数p和g并公开，其中p是一个素数，g是p的一个模p本原单位根(primitive root module p)，所谓本原单位根就是指在模p乘法运算下，g的1次方，2次方……(p-1)次方这p-1个数互不相同，并且取遍1到p-1；
对于Alice(其中的一个通信者)，随机产生一个整数a，a对外保密，计算Ka = g^a mod p，将Ka发送给Bob；
对于Bob(另一个通信者)，随机产生一个整数b，b对外保密，计算Kb = g^b mod p，将Kb发送给Alice；
在Alice方面，收到Bob送来的Kb后，计算出密钥为：key = Kb^a mod p=(g^b)^a=g^(b*a) mod p；
对于Bob，收到Alice送来的Ka后，计算出密钥为：key = Ka ^ b mod p=(g^a)^b=g^(a*b) mod p。
攻击者知道p和g，并且截获了Ka和Kb，但是当它们都是非常大的数的时候，依靠这四个数来计算a和b非常困难，这就是离散对数数学难题。
要实现Diffie-Hellman密钥交换协议，需要能够快速计算大数模幂，在模幂算法中，仍需计算大数的乘法和模运算，所以整个过程需要三个算法：高精度乘法，高精度除法(用来同时求出一个大数除以另一个大数的商和余数)，快速模幂算法。
高精度的乘法和除法可以程序模拟手算。快速模幂算法也是从手算中总结出规律来，例如：
5^8 = (5^2)^4 = (25)^4 = (25^2)^2 = (625)^2，这样，原来计算5^8需要做8次乘法，而现在则只需要三次乘法，分别是：5^2, 25^2, 625^2。这就是快速模幂算法的基础。将算法描述出来，那就是：
算法M:输入整数a,b,p，计算a^b mod p：
M1.初始化c = 1
M2.如果b为0，　则c就是所要计算的结果。返回c的值。算法结束。
M3.如果b为奇数，则令c = c *a mod p，　令b = b-1，转到M2。
M4.如果b为偶数，则令a = a * a mod p，　令b = b / 2，转到M2。
高精度试除法原理简单，但是代码实现起来需要仔细考虑一些细节。
我的演示代码如下：
高精度运算类：

1. class SuperNumber {
2. public:
3.     SuperNumber() {
4.         memset(data, 0, MAX_SIZE);
5.         high = 0;
6.     }
7.     // 一般整型到SuperNumber的转换，该版本中不支持负数
8.     SuperNumber(unsigned long l) {
9.         memset(data, 0, MAX_SIZE);
10.         high = 0;
11.         while(l) {
12.             data[++high] = l % 10;
13.             l /= 10;
14.         }
15.     }
16.     // str为字符串形式表示的十进制数
17.     SuperNumber(const char* str) {
18.         assert(str != NULL);
19.         high = strlen(str);
20.         for(int i = high, j = 0; i >= 1; i--, j++) {
21.             data[i] = str[j] - '0';
22.         }
23.     }
24.     SuperNumber(const SuperNumber& s) {
25.         memcpy(data, s.data, MAX_SIZE);
26.         high = s.high;
27.     }
28.     operator const char*() const {
29.         return toString(10);
30.     }
31.     SuperNumber& operator=(const SuperNumber& s) {
32.         if(this != &s) {
33.             memcpy(data, s.data, MAX_SIZE);
34.             high = s.high;
35.         }
36.         return *this;
37.     }
39.     // 将数据置为0
40.     void reset() {
41.         memset(data, 0, MAX_SIZE);
42.         high = 0;
43.     }
45.     // str为字符串形式表示的十进制数
46.     void setToStr(const char* str) {
47.         assert(str != NULL);
48.         high = strlen(str);
49.         for(int i = high, j = 0; i >= 1; i--, j++) {
50.             data[i] = str[j] - '0';
51.         }
52.     }
53.     // 将数据转换成以base指定的进制的字符串形式，默认为十进制
54.     const char* toString(int base = 10) const {
55.         static char buf[MAX_SIZE];
56.         const char table[] = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
58.         if(high == 0) return "0";
60.         assert(base >= 2);      // 指定的进制应该不小于2
62.         // 进制转换
63.         buf[MAX_SIZE-1] = '/0';
64.         int begin = MAX_SIZE-1;
65.         char temp[MAX_SIZE];
66.         memcpy(temp, data, MAX_SIZE);
67.         while(1) {
68.             // 找最高位的起始位置
69.             int h = high;
70.             while(temp[h] == 0 && h >= 1) h--;
71.             if(h == 0) break;
73.             // 除基取余
74.             int t = 0;
75.             while(h >= 1) {
76.                 t = t * 10 + temp[h];
77.                 temp[h] = t / base;
78.                 t = t % base;
79.                 h--;
80.             }
81.             buf[--begin] = table[t];
82.         }
84.         return buf+begin;
85.     }
87.     // 乘法
88.     SuperNumber operator*(const SuperNumber& s) const {
89.         SuperNumber result;     // default set to 0
90.         int i, j;
91.         
92.         // 相乘
93.         for(i = 1; i <= high; i++) {
94.             for(j = 1; j <= s.high; j++) {
95.                 int k = data[i] * s.data[j] + result.data[i+j-1];
96.                 result.data[i+j-1] = k % 10;
97.                 result.data[i+j] += k / 10;
98.             }
99.         }
100.         // 进位
101.         for(i = 1; i < MAX_SIZE - 1; i++) {
102.             if(result.data[i] >= 10) {
103.                 result.data[i+1] += result.data[i] / 10;
104.                 result.data[i] %= 10;
105.             }
106.         }
107.         // 确定最高位
108.         for(i = MAX_SIZE-1; i >= 1 && result.data[i] == 0; i--);
109.         result.high = i;
111.         return result;
112.     }
114.     // 除法，内部调用doDivide来实现
115.     SuperNumber operator/(const SuperNumber& s) const {
116.         SuperNumber q, r;
117.         doDivide(s, q, r);
118.         return q;
119.     }
120.     // 模运算，内部调用doDivide来实现
121.     SuperNumber operator%(const SuperNumber& s) const {
122.         SuperNumber q, r;
123.         doDivide(s, q, r);
124.         return r;
125.     }
127.     // 除法运算，一次除法运算中同时得到商和余数，运算符/和%的重载
128.     // 内部会调用这个函数，dest为除数，Q为商，R为余数，算法使用试除法
129.     void doDivide(const SuperNumber& dest, SuperNumber& Q, SuperNumber& R) const {
130.         int i, j, t;
132.         Q.reset();
133.         Q.high = high - dest.high + 1; // 商的初始位数
134.         R = *this;                     // 余数初始实为被除数
135.         t = dest.high;
136.         // 判断除法是否结束
137.         while(R >= dest) {
138.             // 循环相减进行试除
139.             while(dest >= R.sub(1, t)) {
140.                 Q.data[Q.high--] = 0;
141.                 ++t;
142.             }
143.             while(R.sub(1, t) >= dest) {
144.                 // i为相减时被除数最低下标，j为除数最低下标
145.                 for(i=R.high-t+1,j=1; j<=dest.high; i++,j++) {
146.                     R.data[i] -= dest.data[j];
147.                     if(R.data[i] < 0) {
148.                         R.data[i] += 10;
149.                         R.data[i+1] -= 1;
150.                     }
151.                 }
152.                 while(R.data[i] < 0 && i <= R.high) {
153.                     R.data[i] += 10;
154.                     R.data[i+1] -= 1;
155.                     ++i;
156.                 }
157.                 Q.data[Q.high] += 1;
158.             }
159.             // 一次试除结束，更新商的最高位下标
160.             Q.high -= 1;
161.             // 更新被除数的最高位下标
162.             while(R.data[R.high] == 0) {
163.                 R.high--;
164.                 t--;
165.             }
166.             t+=1;               // 下一位被除数
167.         }
169.         Q.high = high - dest.high + 1; 
170.         while(Q.data[Q.high] == 0) Q.high -= 1;
171.         R.high = high;
172.         while(R.data[R.high] == 0) R.high -= 1;
173.     }
175.     // 大数模幂算法，很简单的自然算法，即将指数分解为二进制，换句
176.     // 更简单的话来说，就是不断地找平方模幂，而不是全部乘方后再
177.     // 做一次最终的模运算
178.     // a.power_mod(p, n)计算a^p mod n
179.     SuperNumber power_mod(int power, SuperNumber n) const {
180.         SuperNumber c("1"), t(*this);
182.         while(power) {
183.             if(power % 2) {
184.                 c = c * t % n;
185.                 power -= 1;
186.             } else {
187.                 t = t * t % n;
188.                 power /= 2;
189.             }
190.         }
192.         return c%n;
193.     }
195.     bool operator>=(const SuperNumber& s) const {
196.         if(high == s.high) {
197.             int k = high;
198.             while(data[k] == s.data[k] && k >= 1)k--;
199.             if(k < 1) return true; // equal
200.             return data[k] > s.data[k];
201.         } else if(high > s.high) return true;
202.         return false;        
203.     }
205.     bool operator<(const SuperNumber& s) const {
206.         return !(*this >= s);
207.     }
209.     // 从十进制表示的最高位开始数起，数到第i位，从第i位开始截取连续
210.     // 的c位数字出来组成一个新的数。例如：数据是12345678925698，则
211.     // sub(3, 5)返回数字34567，如果数字不够取，例如在34567上运行
212.     // sub(3, 5)，因为34567从高位数起第3个数字是5，剩下的数字是567，
213.     // 最多只有三个，不够取要求的5个，这个时候返回567，不报错。
214.     SuperNumber sub(int i, int c) const {
215.         SuperNumber ret;
216.         assert(high >= i);   // 保证可截取
218.         i = high - i + 1;    // 从高位数起的第i个数位的下标
219.         if(i >= c) {
220.             ret.high = c;
221.             while(c >= 1) ret.data[c--] = data[i--];
222.         } else {
223.             ret.high = i;
224.             while(i >= 1) {
225.                 ret.data[i] = data[i];
226.                 i--;
227.             }
228.         } 
229.         // 过滤前导0
230.         while(ret.data[ret.high] == 0) ret.high--;
231.         return ret;
232.     }
234.     // I/O
235.     friend istream& operator>>(istream& in, SuperNumber& s) {
236.         char t[256];
237.         in >> t;
238.         s.setToStr(t);
239.         return in;
240.     }
241.     friend ostream& operator<<(ostream& out, const SuperNumber& s) {
242.         return out << s.toString(10);
243.     }
244. private:
245.     enum {MAX_SIZE=256};        // 最大十进制位数
246.     // 须注意，使用data[0]存储最高位所在下标是自己的一点小聪明，后来在
247.     // 调试的时候发现这是一个极大的错误，不过对于此题目来说可以应付
248.     char data[MAX_SIZE];        // 数据的内部表示，字符串形式的十进制
249.                                 // 其中data[0]存储最高位所在下标，data[1]
250.                                 // 存储数据的最低位，也就是个位
251.     int high;
252. };

主函数：

1. int main(int argc, char **argv) {
2.     freopen("in.txt", "r", stdin);
4.     SuperNumberTest st;
6. //    st.run();
8.     // g和n都是超过2^127的素数。它们在DH算法中公开
9.     SuperNumber g, n;
10.     int a, b;
11.     SuperNumber ka, kb, key;
13.     srand(time(0));
15.     cin >> g >> n;
17.     cout << "g = " << g << endl
18.          << "n = " << n << endl;
20.     cout << "/nThis is Alice:/n";
21.     a = rand();
22.     cout << "Alice get a random integer a = " << a << endl;
23.     cout << "Alice computer g^a mod n:/n";
24.     ka = g.power_mod(a, n);
25.     cout << "Alice compute out ka = " << ka << endl;
27.     cout << "/nThis is Bob:/n";
28.     b = rand();
29.     cout << "Bob get a random integer b = " << b << endl;
30.     cout << "Bob compute g^b mod n:/n";
31.     kb = g.power_mod(b, n);
32.     cout << "Bob compute out kb = " << kb << endl;
34.     cout << "/nAlice get kb from Bob, she compute out key is:/n";
35.     cout << kb.power_mod(a, n) << endl;
37.     cout << "/nBob get ka from Alice, he compute out key is:/n";
38.     cout << ka.power_mod(b, n) << endl;
41.     return 0;
42. }

运行结果：
g = 170141183460469231731687303715884105757
n = 170141183460469231731687303715884106309
 
This is Alice:
Alice get a random integer a = 20276
Alice computer g^a mod n:
Alice compute out ka = 102075421398841759242347870420481896337
 
This is Bob:
Bob get a random integer b = 28664
Bob compute g^b mod n:
Bob compute out kb = 62348451302684698452476840835428450852
 
Alice get kb from Bob, she compute out key is:
80402514625208456390620786920929643017
 
Bob get ka from Alice, he compute out key is:
80402514625208456390620786920929643017
在 http://oldpiewiki.yoonkn.com/cgi-bin/moin.cgi/DiffieHellmanKeyExchange 上面给出了使用GNU gmp库实现的这个算法的演示代码