[最短路径弗洛伊德算法]三层循环顺序问题

[最短路径弗洛伊德算法](三层循环顺序问题）

先上代码

for(int i=0;i<city;i++)
			for(int j=0;j<city;j++)
				for(int k=0;k<city;k++) {
					if(length[j][i]+length[i][k]<length[j][k])
						length[j][k]=length[j][i]+length[i][k];			
					}

众所周知，弗洛伊德是一个利用三层循环来暴力枚举所有可能情况的算法。且其关键是中间结点一定要放在最外层循环。
那么，问题来了:为什么中间结点要放在最外面呢？，有人甚至一度认为放在其他位置也是对的（我）。。。（是不是也有你）。。。

我在网上搜了一下，感觉说的不是很清楚。经过自己的理解后，希望能把这个问题说清楚一点吧，也希望可以帮助大家更好地理解这个算法。
我们知道，最短路径是靠邻接矩阵说话的，那么，请跟着我一起想一想分别把中间结点放在第一层，第二层，第三层时，邻接矩阵是如何随着循环而变化的。

放在第一层：

以我的代码为例，邻接矩阵是length。
此时length是一行一行逐行更新的，所有行更新完后，更换中间结点然后重新从第一行开始逐行更新。更换到最后一个结点时，所有length[j][k]还有一次更新的机会，而且此次更新利用了之前所有更新过的数据。

放在第二层：

length也是逐行更新，但是是先利用初始未更新过的数据去更新第一行若干遍，再去更新第二行若干遍。。。更新到最后一行就结束了。我们可以想到，除了在更新最后一行时，更新时用的数据都不一定是最短路径。就是说，**利用的是为更新完全的数据。**并且最重要的是，之后就没有了再次更新的机会。通俗地说，你用初始数据更新完第一行之后就不管它了。这样说大家应该就能理解了。

放在第三层：

length是利用未更新全面的数据单个更新若干次，之后就没有了再次更新的机会，与放在第二层类似，在下就不过多赘述了。

至此，大家应该能明白为什么中间结点变量要放在循环的最外层了吧。
如果本文能够帮助到你，我非常荣幸。点个赞让我开心一下不过分吧。

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