单纯形法、拉格朗日乘子法

线性规划中的单纯形法

单纯形法的概念：
单纯形法 simplex method 求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。

python编程求解

建立了danchun.txt，如下：
代码：

import numpy as np
def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l.index(max(l)) #转入编号
    m = []
    for i in range(bn):
        if d[i][jnum] == 0:
            m.append(0.)
        else:
            m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0]))  #转出下标
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
        r = d[i][jnum]
        d[i] -= r * d[inum]        
def solve(d,bn):
    flag = True
    while flag:
        if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0
            flag = False
        else:
            pivot(d,bn)            
def printSol(d,cn):
    for i in range(cn - 1):
        if i in s:
            print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
        else:
            print("x"+str(i)+"=0.00")
    print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
d = np.loadtxt("D:\\danchun.txt", dtype=np.float)
(bn,cn) = d.shape
s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
solve(d,bn)
printSol(d,cn)

运行结果：

上图中，x2、x3、x4对应引入的变量 s1、s2、s3

非线性规划的拉格朗日乘子法

代码：

from sympy import * 
x1 = symbols("x1")
x2 = symbols("x2")
alpha1 = symbols("alpha1")
alpha2 = symbols("alpha2")
alpha3 = symbols("alpha3")
L = 50 *x1-100*x2 + alpha1 * (x1+ x2-300) +alpha2 *(2*x1 + x2-400)
difyL_x1 = diff(L, x1)  #对变量x1求导
difyL_x2 = diff(L, x2)  #对变量x2求导
difyL_alpha2 = diff(L, alpha2)  #对乘子alpha2求导
dualCpt =alpha1 * (x1+ x2-300)
aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, dualCpt,difyL_alpha2], [x1, x2,alpha1,alpha2])
for i in aa:
    if i[2] >= 0 and i[0]>=0 and i[1]>=0:
        if (i[0]+i[1]-300) <= 0 and (2*i[0]+i[1]-400) <= 0 and (i[0]-250)<=0:
            print(i)

运行结果：