详解运筹学单纯形法
1. 在开始之前先抛出几个问题：
tips：Q: question, A: answer
Q1：单纯形法算法核心思想是什么？
Q2：可以用一个实际的场景去解释单纯形法吗？
Q3：单纯形法一定在边界处取得最优解吗？
Q4：单纯形法通常用于求解什么类型的问题?
A1：单纯形法算法核心思想是什么？
单纯形法（Simplex Method）的核心思想是在线性规划问题的可行域的顶点之间进行系统的搜索，以找到使目标函数值最优（最大化或最小化）的解。这种方法是基于以下几个关键概念：
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顶点搜索：线性规划问题的解（如果存在）总是在可行域的顶点上。单纯形法利用这一事实，只在顶点之间移动，从而大大减少了搜索空间。
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可行解的保持：在搜索过程中，算法始终保持在可行域内，确保每一步的解都满足所有约束条件。
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贪婪策略：在每一步，算法选择能使目标函数值最大化（或最小化）的方向移动。这通过比较目标函数在当前基础解中的非基变量的系数来完成。
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基变量和非基变量：算法在每一步将一个非基变量引入基变量集合，并从基变量集合中移除一个变量，这种变量交换称为“枢轴操作”。
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枢轴操作：这是单纯形法中用于从当前基可行解到另一个基可行解的转换过程。通过高斯消元法或类似方法对单纯形表进行操作，以确保转换后仍然满足所有约束。
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终止条件：当无法再通过引入非基变量来改进目标函数值时（即所有非基变量的引入都不会增加（或减少）目标函数值），算法终止。
通过这种方式，单纯形法高效地探索顶点，并最终找到最优解。这种方法特别适用于具有大量约束和变量的问题。尽管在最坏情况下可能需要指数时间，但在实际应用中，它通常非常高效。
A2：可以用一个实际的场景去解释单纯形法吗？
场景：产品生产与利润最大化
假设你是一个工厂的运营经理，负责生产两种产品：A 和 B。每种产品的生产都需要消耗一定的资源，比如原材料、人工和机器时间。你的目标是确定每种产品的生产数量，以最大化总利润，同时不超过可用资源的限制。
工厂约束条件：
- 资源限制：工厂有固定数量的原材料、人工和机器时间。
- 生产能力：每生产一个单位的产品A和B，都会消耗不同的资源量。
- 市场需求：产品A和B的市场需求量是有限的。
目标：
最大化两种产品的总利润。
单纯形法应用：
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模型建立：
- 设定变量 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2 分别表示产品A和B的生产量。
- 构建目标函数，比如 P = p A x 1 + p B x 2 P = p_Ax_1 + p_Bx_2 P=pAx1+pBx2，其中 P P P 是总利润， p A p_A pA 和 p B p_B pB是产品A和B的单位利润。
- 构建约束条件，如原材料、人工和机器时间的限制，以及市场需求限制。
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单纯形表的构建：
- 将目标函数和约束条件转换成单纯形表的形式。
- 引入松弛变量将所有不等式约束转换为等式约束。
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迭代求解：
- 从一个初始可行解开始，比如不生产任何产品，即 x 1 = 0 , x 2 = 0 x_1 = 0, x_2 = 0 x1=0,x2=0。
- 通过枢轴操作，在可行域的顶点之间移动，选择可以增加总利润的生产策略。
- 在每一步，通过引入和移除基变量，更新解，直到找到最优解。
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解释与实施：
- 得到的最优解指示了在资源限制下生产产品A和B的最优数量。
- 这个解可以用来指导生产计划，以实现利润最大化。
通过这个过程，单纯形法提供了一种结构化和系统的方式来解决实际问题，即如何在多重约束下达到利润最大化。这种方法在运筹学、经济学和商业管理中有着广泛的应用。
A3：单纯形法一定在边界处取得最优解吗？
单纯形法在求解线性规划问题时，总是在边界处寻找最优解。这是因为线性规划问题的最优解（如果存在的话）总是出现在可行区域的顶点上，也就是在约束形成的多边形或多面体的边界上。这一性质是线性规划的凸性质和线性约束的直接结果。
理由包括：
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线性函数的性质：
- 线性规划的目标函数是线性的。线性函数在凸多边形或多面体的顶点上达到极值（最大值或最小值）。
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凸集的特性：
- 线性规划问题的可行区域是一个凸集。凸集的一个重要性质是其任何两点的连线段也在这个集合内。因此，如果在凸集的内部有一个最优点，那么在连接这个点和顶点的线段上也会有与之相同价值的点，这与这个点是唯一最优点矛盾。
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极点定理：
- 在线性规划中，存在所谓的极点定理，即如果线性规划问题有解，则至少有一个最优解在可行区域的顶点上。
实际应用：
在实际应用中，单纯形法通过一系列迭代过程，从一个可行解的顶点出发，沿着边界移动到另一个顶点，每次移动都是为了改善或保持目标函数值。这个过程一直持续到找到一个最优顶点，此时无法再通过移动到另一个顶点来进一步改善目标函数值。这确保了最终找到的解是最优的，并且这个解一定位于可行区域的边界上。
A4：单纯形法通常用于求解什么类型的问题?
单纯形法通常用于求解线性规划（Linear Programming, LP）问题。线性规划是优化理论中的一个基本类型，涉及到在一组线性约束条件下，对一个线性目标函数进行最大化或最小化的问题。这些问题在数学、经济学、商业管理、工程学、军事、能源政策和其他领域有广泛的应用。以下是一些典型的使用单纯形法求解的问题类型：
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资源优化：
在有限资源下，如何分配资源以达到最大的效益或最小的成本。这在生产计划、人力资源管理和财务规划中非常常见。 -
运输问题：
如何以最低成本将商品从一组供应地点运输到一组需求地点。这类问题在物流和供应链管理中很常见。 -
混合物成分优化：
在食品加工、化学工业等领域，如何混合不同的原料以达到最佳的产品质量或成本效益。 -
调度问题：
如何安排工作或生产流程以最大化效率，例如在制造业、运输业和服务业中的任务调度。 -
网络流问题：
在网络设计、电信、运输网络中，如何优化网络流量以提高效率或降低成本。 -
投资组合选择：
在金融领域，如何在风险和收益之间进行平衡，选择最优的资产组合。 -
能源管理：
在电力系统运行和能源市场中，如何进行发电调度和能源分配以最大化经济效益或最小化环境影响。
单纯形法因其有效性和灵活性，在处理实际中的线性规划问题时被广泛应用。尽管在某些情况下，它可能不是最快的解决方案（特别是在问题规模非常大时），但它的普适性和稳定性使其成为解决这类问题的强大工具。
2. 单纯形法推导
为了不失一般性，我们假设矩阵 m × n m \times n m×n的线性规划问题为：
m a x z = c T x s . t . A x = b x ≥ 0 \begin{aligned}\\ &max \quad z = c^T x \\ &s.t.\quad Ax = b\\ &\quad \quad x \geq 0 \end{aligned} maxz=cTxs.t.Ax=bx≥0
其中， A A A的基本部分为 N N N表示。把问题中的 x x x和 c c c以及产生的 A A A分别分割成两部分 x B , x N x_B, x_N xB,xN和 c B , c N c_B, c_N cB,cN。等式约束可以上述表示为
A x = B x B + N x N = b Ax = Bx_B + Nx_N = b Ax=BxB+NxN=b
因此，可以得出:
x B = B − 1 b − B − 1 N x N x_B = B^{-1}b - B^{-1}Nx_N xB=B−1b−B−1NxN
z = d e f f ( x ) = c T x = c B T x B + c N T x N = c B T B − 1 b + ( c N T − c B T B − 1 N ) x N = z 0 + P T x N \begin{aligned} z &\overset{def}{=}f(x) = c^T x \\ &= c_B^T x_B + c_N^T x_N \\ &= c_B^T B^{-1}b + (c_N^T - c_B^T B^{-1}N) x_N \\ &= z_0 + P^T x_N \end{aligned} z=deff(x)=cTx=cBTxB+cNTxN=cBTB−1b+(cNT−cBTB−1N)xN=z0+PTxN
其中： z 0 = c B T B − 1 b , P T = c N T − c B T B − 1 N z_0=c_B^T B^{-1}b, P^T=c_N^T - c_B^T B^{-1}N z0=cBTB−1b,PT=cNT−cBTB−1N
Split A → B A → B A→B, N N N with B B B square and non-singular
对于 B B B和 N N N中 A A A的每一个划分选择，通过设定 x N = 0 x_N = 0 xN=0，对应LP问题的“基本解” x x x，得到基本解
x B = B − 1 b , x N = 0 x_B = B^{-1}b, \quad x_N = 0 xB=B−1b,xN=0
与之对应的“基本成本”
z 0 = c B T B − 1 b z_0 = c_B^T B^{-1}b z0=cBTB−1b
可以看出，LP问题可行解的每个初始基变量对应一个基本解。在单纯形算法中，我们将以线性规划方法从一个可行的基本解跳跃到另一个可行的基本解，直到最终得到最优解。注意，从一个基本解到另一个基本解对应交换 B B B和 N N N的列。
举例：
参考：线性规划-单纯形法推导