【Usaco 2010 NOV Gold】奶牛的图片

写在最前面： “这题知识面有点广”

Description

Farmer John希望给他的N(1<=N<=100,000)只奶牛拍照片,这样他就可以向他的朋友炫耀他的奶牛.这N只奶牛被标号为1..N.
在照相的那一天,奶牛们排成了一排.其中第i个位置上是标号为c_i(1<=c_i<=N)的奶牛.对于奶牛的站位,Farmer John有他自己的想法.
FJ是这么想的,标号为i(1<=i<=n-1)的奶牛只能站在标号为i+1的奶牛的左边,而标号为N的奶牛只能站在标号为1的奶牛的左边.当然,没有牛可以站在队列中最左边的奶牛的左边了.也就是说,最左边的奶牛编号是随意的.
这些奶牛都非常的饿,急切的希望吃到FJ承诺的在拍照后的大餐,所以FJ想尽快的拍照.奶牛们的方向感非常的不好,所以FJ每一分钟只可以选择相邻的两只奶牛然后让他们交换位置.FJ最小需要多少时间就能使奶牛站成一个可以接受的序列?
比方说一个有5只奶牛的例子,一开始序列是这样的:
左边 右边
3 5 4 2 1

第一分钟,FJ可以交换第二队奶牛(即5和4),交换后的队列:
3 4 5 2 1
第二分钟,FJ交换最右边的一对,序列变成这样:
3 4 5 1 2
这样,只用了2分钟,就是序列变为了一个FJ所希望的序列.

分析

这题的 O(n2) 的算法很容易想出来，
首先我们先要知道，当前两两交换得到有序序列的次数等于当前的逆序对的对数

证明：是逆序对就必须交换，每次交换一个逆序对都会使当前的逆序对加或减1，所以最佳方案就是逆序对个数

我们先处理出全是从小到大的队列的交换次数：
3 5 4 2 1 -> 1 2 3 4 5，ans=7

我们再来想想开头为其它小的序列：
3 5 4 2 1 -> 2 3 4 5 1，
我们可以把操作后的序列想象成有序的，
每次这个操作，我们都把最小的变成最大的放到最后，也就是只由上一状态转移来
那ans会有什么变化呢？
ans’=去掉i后减少的逆序对+加上最大数产生的逆序对
=ans-(b[i]-1)+(n-b[i])；(b[i]为i在序列中的位置)
有点神奇……我看了题解半天才懂