空间直线与球面相交算法

1. 原理推导

1.1. 直线公式

在严格的数学定义中，直线是无线延长，没有端点的线；射线是一端有端点，另外一段没有端点无线延长的线。但在具体的计算机几何实现中，不可能去找到这种无线延长，没有端点的线，所以这里直线的定义更加近于线段，如果线段选的够长，那么这个线段就可以认为是直线或者射线。

空间直线的数学定义是，已知直线L上一点\(M_0(x_0,y_0,c_0)\)，以及直线L的方向向量\(s(m,n,p)\)，那么空间直线L的方程为：

\[\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} \]

以上是空间直线的标准式方程（点向式方程）。令上面式子的比值为\(t\)，那么直线的参数式方程为：

\[\begin{cases} x = x_0 + m * t\\ y = y_0 + n * t\\ z = z_0 + p * t\\ \end{cases} \]

这两个方程是无法直接在实际情况中使用的，毕竟很多时候都是直接给出经过直线的两个点。我在《已知线段上某点与起点的距离，求该点的坐标》这篇博文中论述过:

对于知道线段的起点\(O\)和终点\(E\)，显然方向向量为\(D=E−O\)。这时，根据射线的向量方程，线段上某一点P为

\[P=O+tD \]

很明显，直线的参数式方程与上篇博文中描述的其实是一个意思，起点\(O\)就是\(M_0(x_0,y_0,c_0)\)，方向向量\(D\)就是\(s(m,n,p)\)：

\[\begin{cases} x = O_x + D_x * t\\ y = O_y + D_y * t\\ z = O_z + D_z * t\\ \end{cases} \tag {1} \]

并且，采取这种公式描述还有个好处，局势t的取值范围为0到1，否则就在直线的两个端点之外，也就很有可能不是你需要的点。

1.2. 求交

根据数学定义，已知球心坐标\(C(C_x, C_y, C_z)\)与球的半径R，球面的公式为：

\[(X-C_x)^2 + (Y-C_y)^2 + (Z-C_z)^2 = R^2 \tag{2} \]

联立(1)(2)两式，最终会得到一个关于t的一元二次方程：

\[(O_x + D_x * t-C_x)^2 + ( O_y + D_y * t-C_y)^2 + (O_z + D_z * t-C_z)^2 = R^2 \]

一元二次方程组的有无解，单个解，以及双解三种可能，这也符合空间直线与球面相交的直观认识，要么相切有一个交点，要么相交有两个交点，否则的话可能没有交点。

得到\(t\)后，将其带入到(1)式中，就得到想要的交点。不过注意t的范围一般是0到1，这是与直线给的起点位置与终点位置有关的。

推到这里就会发现原来全部都是高中数学知识，应该还做过题目来着。

2. 具体实现

具体的C++实现如下：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const double EPSILON = 0.0000000001;

// 3D vector
struct Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量赋值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相减
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量数乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量点积
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉积
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	bool operator == (const Vector3d& v) const
	{
		if (abs(x - v.x) < EPSILON && abs(y - v.y) < EPSILON && abs(z - v.z) < EPSILON)
		{
			return true;
		}
		return false;
	}

	double x, y, z;
};

//求解一元二次方程组ax*x + b*x + c = 0
void SolvingQuadratics(double a, double b, double c, vector& t)
{
	double delta = b * b - 4 * a * c;
	if (delta < 0)
	{
		return;
	}

	if (abs(delta) < EPSILON)
	{
		t.push_back(-b / (2 * a));
	}
	else
	{
		t.push_back((-b + sqrt(delta)) / (2 * a));
		t.push_back((-b - sqrt(delta)) / (2 * a));
	}
}

void LineIntersectSphere(Vector3d& O, Vector3d& E, Vector3d& Center, double R, vector& points)
{
	Vector3d D = E - O;			//线段方向向量

	double a = (D.x * D.x) + (D.y * D.y) + (D.z * D.z);
	double b = (2 * D.x * (O.x - Center.x) + 2 * D.y * (O.y - Center.y) + 2 * D.z* (O.z - Center.z));
	double c = ((O.x - Center.x)*(O.x - Center.x) + (O.y - Center.y) * (O.y - Center.y) + (O.z - Center.z) * (O.z - Center.z)) - R * R;

	vector t;
	SolvingQuadratics(a, b, c, t);

	for (auto it : t)
	{	
		if (it >= 0 && it <= 1)
		{
			points.push_back(O + D.Scalar(it));
		}		
	}
}

int main()
{
	Vector3d O(20, 30, 40);
	Vector3d E(20, 20, 20); 
	Vector3d Center(20, 20, 20);
	double R = 15;

	vector points;
	LineIntersectSphere(O, E, Center, R, points);

	cout<<"该直线(线段)与球面有"<< points.size() <<"个交点"<

最终运行的结果:

再次注意，我这里是把线段当成直线判断的，如果希望判断整个直线与球面的交点，应该略去最后的关于\(t\)是否在0到1之间的判断，此时应该会有两个交点。

3. 参考

1. 空间直线同球体交点求解