线段树或树状数组求逆序数

线段树或树状数组求逆序数

         求逆序数的方法有分治，归并，本文只介绍线段树或树状数组求逆序数的办法，众所周知，线段树和树状树可以用来解决区间操作问题，就是因为这两个算法区间操作的时间复杂度很低O(logN)，才让这种方法具有可行性。

         首先先来看一个序列   6 1 2 7 3 4 8 5，此序列的逆序数为5+3+1=9。冒泡法可以直接枚举出逆序数，但是时间复杂度太高O(n^2)。冒泡排序的原理是枚举每一个数组，然后找出这个数后面有多少个数是小于这个数的，小于它逆序数+1。仔细想一下，如果我们不用枚举这个数后面的所有数，而是直接得到小于这个数的个数，那么效率将会大大提高。          

         总共有N个数，如何判断第i+1个数到最后一个数之间有多少个数小于第i个数呢？不妨假设有一个区间 [1,N]，只需要判断区间[i+1,N]之间有多少个数小于第i个数。如果我们把总区间初始化为0，然后把第i个数之前出现过的数都在相应的区间把它的值定为1，那么问题就转换成了[i+1,N]值的总和。再仔细想一下，区间[1,i]的值+区间[i+1,N]的值=区间[1,N]的值(i已经标记为1)，所以区间[i+1,N]值的总和等于N-[1,i]的值！因为总共有N个数，不是比它小就是比它(大或等于)。

        现在问题已经转化成了区间问题，枚举每个数，然后查询这个数前面的区间值的总和，i-[1,i]既为逆序数。

        线段树预处理时间复杂度O(NlogN)，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(3*NlogN)

        树状数组不用预处理，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(2*NlogN)

线段树:

 // 线段树
 #include
 #include
 #include
 #define MAX 51000
 #define MID(a,b) (a+b)>>1
 #define R(a) (a<<1|1)
 #define L(a) a<<1
 typedef struct {
     int num,left,right;
 }Node;
 int ans[MAX];
 Node Tree[MAX<<2];
 int n;

 void Build(int t,int l,int r)         //以1为根节点建立线段树
 {
     int mid;
     Tree[t].left=l,Tree[t].right=r;
     if(Tree[t].left==Tree[t].right)
     {
         Tree[t].num=0;
         return ;
     }
     mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
     Build(L(t),l,mid);
     Build(R(t),mid+1,r);
 }

 void Insert(int t,int l,int r,int x)     //向以1为根节点的区间[l,r]插入数字1
 {
     int mid;
     if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)
     {
         Tree[t].num+=x;
         return ;
     }
     mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
     if(l>mid)
     {
         Insert(R(t),l,r,x);
     }
     else if(r<=mid)
     {
         Insert(L(t),l,r,x);
     }
     else
     {
         Insert(L(t),l,mid,x);
         Insert(R(t),mid+1,r,x);
     }
     Tree[t].num=Tree[L(t)].num+Tree[R(t)].num;
 }

 int Query(int t,int l,int r)           //查询以1为根节点，区间[l,r]的和
 {
     int mid;
     if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)
         return Tree[t].num;
     mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
     if(l>mid)
     {
         return Query(R(t),l,r);
     }
     else if(r<=mid)
     {
         return Query(L(t),l,r);
     }
     else
     {
         return Query(L(t),l,mid)+Query(R(t),mid+1,r);
     }
 }


 int main()
 {
     int a,n,i,t;
     scanf("%d",&t);
     long long int k;
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         memset(Tree,0,sizeof(Tree));  //初始化线段树
         Build(1,1,n);
         for(i=1;i<=n;i++)             //输入n个数
         {
             scanf("%d",&ans[i]);
         }
         for(i=1,k=0;i<=n;i++)
         {
             a=ans[i];
             Insert(1,a,a,1);          //把线段树[ans[i],ans[i]]区间的值插入为1
             k=k+(i-Query(1,1,a));     //查询区间[1,ans[i]]值的总和,逆序数等于i-[1,ans[i]]
         }
         printf("%lld\n",k);
     }
     return 0;
 }

树状数组:

 // 树状数组
 #include
 #include
 #include
 #include
 using namespace std;
 #define MAX 100010
 int c[MAX],a[MAX],ans[MAX],n;

 int Lowbit(int x)      //返回二进制最后一个1所表示的数
 {
     return x&(-x);
 }

 void Updata(int x)     //向前更新
 {
     while(x<=n)
     {
         c[x]++;
         x+=Lowbit(x);
     }
 }

 int Sum(int x)         //向后更新求和
 {
     int sum=0;
     while(x>0)
     {
         sum+=c[x];
         x-=Lowbit(x);
     }
     return sum;
 }

 int main()
 {
     int i,t,k;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         for(i=1;i<=n;i++)
         {
             scanf("%d",&ans[i]);
         }
         memset(c,0,sizeof(c));        //初始化树状数组
         for(i=1,k=0;i<=n;i++)
         {
             Updata(ans[i]);         //向后更新节点ans[i].k
             k=k+(i-Sum(ans[i]));    //向前查询节点ans[i].k
         }
         printf("%d\n",k);
     }
     return 0;
 }