Noip2017提高组Day1

不知不觉自己退役两年了呢。。

小凯的疑惑

[Problem]

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。 每种金币小凯都有
无数个。 在不找零的情况下， 仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。 现在小
凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？ 注意：输入数据保证存在
小凯无法准确支付的商品。

[Solution]
假设面值分别为a, b
Ans = a*b - (a + b)
证明：
我们假设a < b, 又Gcd(a,b) = 1;
那么a % b， 2 * a % b， 3 * a % b ……(b-1) * a % b 均不相同
即ak % b 均不相同，其中1<= k < b
这个结论不知道可以看一下hdu5514这道题目
我们把整个数集按照模b结果分为b类
对于任意整数x
若x%b=0，显然可以凑出
若x%b=1，满足条件的最小x为k*a，其中k * a % b = 1，而对于k *a + b、k *a+2 *b…..都可以通过减去若干b，最终成为ka来凑出，那么此类数最大凑不出的是什么呢？ k *a -b，其中ka%b=1
若x%b = 2，同理最大凑不出的数为ka-b，其中ka %b = 2
….
以此类推
若x%b=t， 最大凑不出的数为ka-b，其中ka%b=t
因此ans=max（ka-b） = a(b-1)-b = a*b - (a + b)

逛公园

[Solution]
我们可以观察到k很小，假设从第一个点到第i个点的最短距离为t，那么我们只需要保留到第i个点距离为t~t+k的方案即可，因此我们用f[i][j]表示从第一个点到第i个点距离为t+j的方案数
我们首先tarjan缩点，然后形成DAG图，最后跑一边dp即可
对于每一个f[i]，加入i与x有连边，那么拿f[i]的最优解去更新f[x]，如果i这个点是个环，一圈的权值为t，那么把每个f[i][j]累加到f[i][j + t]中即可
复杂度O(nk+mK^2)