matlab 怎么解欠定方程 有Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 （转百度知道）

Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B 
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如： 
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； 
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。 
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 

如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： 
m＝n 恰定方程，求解精确解； 
m>n 超定方程，寻求最小二乘解； 
mm。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快； 
【例7】 
求解超定方程组 
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13] 
A= 
2 -1 3 
3 1 -5 
4 -1 1 
1 3 -13 
b＝[3 0 3 -6]’; 
rank(A) 
ans= 
3 
x1=A\b 
x1= 
1.0000 
2.0000 
1.0000 
x2=pinv(A)*b
x2= 
1.0000 
2.0000 
1.0000 
A*x1-b 
ans= 
1.0e-014 
-0.0888 
-0.0888 
-0.1332 
0 
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。 

三．欠定方程组 
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。 
【例8】 
解欠定方程组 
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5] 
A= 
1 -2 1 1 
1 -2 1 -1 
1 -2 1 -1 
1 -2 1 5 
b=[1 -1 5]’ 
x1=A\b 
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 
x1= 
0 
-0.0000 
0 
1.0000 
x2=pinv(A)*b 
x2= 
0 
-0.0000 
0.0000 
1.0000 

四．方程组的非负最小二乘解 
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为： 
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下； 
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大； 
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。 
【例9】求方程组的非负最小二乘解 
A=[3.4336 -0.5238 0.6710 
-0.5238 3.2833 -0.7302 
0.6710 -0.7302 4.0261]; 
b=[-1.000 1.5000 2.5000]; 
[X,W]=nnls(A,b) 
X= 
0 
0.6563 
0.6998 
W= 
-3.6820 
-0.0000 
-0.0000 
x1=A\b 
x1= 
-0.3569 
0.5744 
0.7846 
A*X-b 
ans= 
1.1258 
0.1437 
-0.1616 
A*x1-b 
ans= 
1.0e-0.15 
-0.2220 
0.4441 
0