凸优化基础概念解释

一、计算几何是研究什么的？
二、计算几何理论中（或凸集中）过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？与初中数学中那些直线方程有什么差异？有什么好处？(按自己的体会)
三、凸集是什么？ 直线是凸集吗？是仿射集吗？
四、三维空间中的一个平面，如何表达？
五、更高维度的“超平面”，如何表达？
六、什么是“凸函数”定义？什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数？f(x)=x^3 函数是凸函数吗？
（1）凸函数定义
（2）Hessen矩阵定义
（3）如何判别一个函数是凸函数
（4）f(x)=x^3 函数是否为凸函数
七、什么是“凸规划”？如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明？
（1）凸规划定义
此上便是凸优化的概念简述，不懂的可以相互交流。
一、计算几何是研究什么的？
主要研究几何目标在计算机环境内的数知学表示、编辑、计算和传输等方面的理论与方法及相关的应用，其中包含连续性方法和离散性方法。书中内容包括计算几何相关的基础理论、多元样条函数的研究方法、局部多项式插值道及超值插值、分片有理函数插值、多项式样条空间结构与代数曲线、NURBS曲线与曲面、曲线/曲面细分方法及曲线与曲面参数化等。本书面向内具有本科数学分析和线性代数知识的读者，力求容易入门、由浅入深、讲透原理、联系应用。

二、计算几何理论中（或凸集中）过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？与初中数学中那些直线方程有什么差异？有什么好处？(按自己的体会)
（1）过两点的一条直线的表达式的描述：
假设两个点不相同:x1、x2，那么就有直线方程：y=θx1+(1−θ)x2
（2）计算几何初中数学中那些直线方程有什么差异，有什么好处？
计算几何与平面几何（初高中学习）的区别就是维度的不一样，计算几何在平面的基础上添加了角度的维度，这意味着计算的复杂性提高了，但是计算的结果更加的广泛，更加的精确，更容易全方位的表达一条直线。

三、凸集是什么？ 直线是凸集吗？是仿射集吗？
（1）凸集定义
在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。特别的，凸集，实数R上（或复数C上）的向量空间中，如果集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。常见的凸集：单点集 ，空集，整个欧氏空间 Rn。


（2）直线是否属于凸集以及仿射集
凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。（例如：在二维中有扇面、圆、椭圆等，在三维中有实心球体等；多数情况下，两个凸集的交集也是凸集，空集也是凸集）
仿射集定义：
①仿射集亦称仿射流形、线性流形、仿射簇，是实线性空间中的一类子集。
②仿射集是指欧氏空间R"中具有以下性质的点集M :对任意x,y∈M,以及任意实数入，总有(1- )x+ λy∈M。不难证明，包含原点的仿射集M是R"的子空间，反之亦然。此外,可以证明，对于不含原点的非空仿射集M,必有唯一-的子空间 L以
及a∈R"使M=L+a:= {x+a|x∈L}°
③非空间射集M的维数定义为上述子空间L的维数。空集的维数定义为-1。维数分别为0、1,以及2的仿射集为点、直线和平面。R"中n-1维点仿射集称为超平面。
由定义可知，直线属于仿射集，且为维数为1的仿射集。

四、三维空间中的一个平面，如何表达？
（1）三维空间中的平面主要通过建立公式模型来解答
例如：假设三维的直线方程为:
Ax+By+Cz+D=0
我们需要的求解的便是其中的A、B、C、D的未知参量，那么我们如何求解其中的未知参量呢？这就需要通过特定的求解方法
（2）求解未知参量A、B、C、D的方法
1.最原始的解法是根据已知的三个点，建立3个联合方程组,来消元
2.高斯消元法
3.克莱姆法则(适用于变量和方程数目相等)

五、更高维度的“超平面”，如何表达？
（1）超平面定义
超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。因为是子空间，所以超平面一定过原点。
（2）高维度超平面的表达
在数学中，超平面（Hyperplane）是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广。
设F为域，其中：F=IR，则n维空间Fn中的超平面是由如下方程表示：a1x1+…+anxn=b
超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。设d是n维欧式空间R中的一个非零向量，a是实数，则R中满足条件dX=a的点X所组成的集合称为R中的一张超平面。

六、什么是“凸函数”定义？什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数？f(x)=x^3 函数是凸函数吗？
（1）凸函数定义
任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方，称为凸函数。

数学模型如下：

（2）Hessen矩阵定义
Hessian Matrix（黑塞矩阵、海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵 etc.）,它是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，用以描述函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。Hessen矩阵常用于牛顿法解决优化问题。

（3）如何判别一个函数是凸函数
一元函数的判别
对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ，则f(x)f(x)是凸函数
多元函数的判别
对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数
（4）f(x)=x^3 函数是否为凸函数
该函数为一元函数，故从一元函数的角度来判断
当我们用y=1000x的直线去截f(x)=x^3 的模型时，可以看到，直线上的所有点，不都在曲线的上方，因此，函数f(x)=x^3不是凸函数

七、什么是“凸规划”？如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明？
（1）凸规划定义

（2）如何判别一个规划问题是凸规划问题
与一般的最优化问题标准形式相比，凸规划有三个附加条件：
（1）目标函数f(x)必须是凸函数；
（2）不等式约束函数gi(x)必须是凸函数，不等式gi(x)≤0组成的区域为凸集；
（3）等式约束函数：必须是仿射的（即线性函数和常函数的和函数）。
结论：凸规划的可行域是凸集。因为每个约束条件的点集都是凸集，它们的交集也是凸集。
（3）下面举个例子说明
验证下列优化问题为(MP)是凸规划

求解f(x)与g1(x)、g2(x)、g3(x)的f(x)的Hessen矩阵