1.8 正交补空间

正交补空间

重要性质 $S_1$ 是 $S$ 子空间，则必存在唯一子空间 $S_2$ 使得 $S=S_2\oplus S_1$ 和 $ S_2 \bot S_1$ ，称 $S_2$ 为 $S_1$ 的正交补空间，记为 $S_1^{\perp }$ ， $dim{S}_1^{\perp }=dimS-dim{S}_1$ 。

正交补空间包含了垂直于原空间的所有向量。强调下，如果 $S_1$ 是整个空间，其正交补空间为 $0$ 维空间，只包含 $0$ 向量。

子空间的正交补和直和补空间，有什么差别呢？在于唯一性！正交补空间唯一，直和补有无穷多。数学喜欢唯一性，因为唯一性能大大简化问题。比如函数，单射的函数就很好研究，而多射函数难以研究。为什么选垂直的补空间作为唯一，而不选其它角度（如30度，60度等等）的补空间作为唯一呢？因为垂直时内积为0，如同最简基那节，0能解耦。

比如，二维空间，直线是子空间，其正交补就是其垂线，唯一；其直和补是任意不共线的直线，任意多。三维空间，平面是子空间，其正交补就是其垂线，唯一；其直和补是任意不共面的直线，任意多。

如果子空间 $S_1$ 由向量组 $V=({\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 张成，如何求其正交补空间呢？这个问题是线性代数基本问题之一，是理解线性方程的核心之一，必须十分重视。

根据正交补空间 $S_1^{\perp }$ 包含了垂直于原空间 $S_1$ 的所有向量，是个向量集合。 $S_1^{\perp }$ 中任意向量 $\mathbf{v}$ 垂直于空间 $S_1$ ，则只需也必须垂直于向量组 $V$ 中所有向量，即
$$(\mathbf{v},{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}})=0\forall i\in [1,n]$$
满足上式关系的所有向量构成的集合就是 $S_1^{\perp }$ 。这是定义空间的第二种方式，与向量组的线性组合定义空间完全不同。

需用计算法求出正交补，每个内积为0分别得一个方程，共 $n$ 个方程。

$m$ 维空间中 $n$ 个向量的向量组 $S_1=({\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ ，令 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}=({\mathbf{V}}_{\mathbf{i}1},\cdots ,{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}},\cdots ,{\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{m}})$ ，即第 $j$ 个分量为 ${\mathbf{V}}_{\mathbf{i}\mathbf{j}}$ 。 $S_1^{\perp }$ 中任意向量 $\mathbf{v}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m)$ ，根据内积计算规则，可得方程组
$$\begin{gathered} {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{11}+\cdots +{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{1\mathbf{i}}+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{1\mathbf{m}}=0 \\ {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{21}+\cdots +{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{2\mathbf{i}}+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{2\mathbf{m}}=0 \\ ⋮ \\ {\alpha }_1{\mathbf{V}}_{\mathbf{n}1}+\cdots +{\alpha }_i{\mathbf{V}}_{\mathbf{n}\mathbf{i}}+\cdots +{\alpha }_m{\mathbf{V}}_{\mathbf{n}\mathbf{m}}=0 \end{gathered}$$
$n$ 个方程 $m$ 个未知数。方程形式和基的判断问题方程十分相似，有两点不同：第一方程数量为向量数量 $n$ 个，第二与未知数 ${\alpha }_i$ 相乘的系数不是向量 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}$ 的分量，而是所有向量的第 $i$ 个分量。

例如，二维空间中，向量组 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1),{\mathbf{v}}_1=(1,2)$ ，对应方程为
$$1{\alpha }_1+2{\alpha }_2=0$$

是直线，为正交补空间。

例如，三维空间中，向量组 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1),{\mathbf{v}}_1=(1,2,3)$ 对应方程为
$$1{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3=0$$

是平面，与向量 ${\mathbf{v}}_1$ 垂直，为正交补空间。

正交补空间是空间，空间可以用向量组的线性组合表示，那补空间可以吗？
以上面方程为例介绍，1个方程3个未知数，故2个变量是自由变量，可令自由变量为 ${\alpha }_2和{\alpha }_3$ ，取 $(0,1)$ 时得 ${\alpha }_1=-(2{\alpha }_2+3{\alpha }_3)=-3$ ，故 $(-3,0,1)$ 是解，其任意数乘也是解；取 $(1,0)$ 时得 ${\alpha }_1=-(2{\alpha }_2+3{\alpha }_3)=-2$ ，故 $(-2,0,1)$ 是解，其任意数乘也是解！故这两个向量的线性组合都是方程的解。这两个向量线性无关，故其张成子空间是二维。所以得到正交补空间的线性组合表示。
$$S_1^{\perp }=\{\alpha (-3,0,1)+\beta (-2,0,1)\}$$
再如，三维空间中，向量组 $\mathbf{V}=({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2),{\mathbf{v}}_1=(1,2,3)$ 和 ${\mathbf{v}}_2=(4,5,6)$ 对应方程为
$$\begin{gathered} 1{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3{\alpha }_3=0 \\ 4{\alpha }_1+5{\alpha }_2+6{\alpha }_3=0 \end{gathered}$$
是直线，与向量 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$ 垂直，为正交补空间。求线性组合如下，2个方程3个未知数，故1个变量是自由变量，可令自由变量为 ${\alpha }_3$ ，取 $(1)$ 时得 $$\begin{gathered} 1{\alpha }_1+2{\alpha }_2+3=0 \\ 4{\alpha }_1+5{\alpha }_2+6=0 \end{gathered}$$ ，故 $(1,-2,1)$ 是解，其任意数乘也是解，即该向量的线性组合，其张成子空间是一维。所以得到正交补空间的线性组合表示。
$$S_1^{\perp }=\{\alpha (1,-2,1)\}$$